[论文解读] Some comments on calculations of the scalar radius of the pion and the chiral constant $\bar{l}_4$

Félix Ynduráin|ArXiv.org|Oct 24, 2005

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文使用幺正性和色散关系重新评估了标量半径和 chiral perturbation theory 常数 $ar{l}_4$，认为在 1.5 ext{GeV} 以下，标量相移 $ar{ heta}_S$ 可近似为 $ar{ heta}_0$，从而得出 $ar{ heta}_S = 0.75 \pm 0.07 ext{fm}^2$ 和 $ar{l}_4 = 5.4 \pm 0.5$。该结果挑战了 Leutwyler 等人报告的 $ar{l}_4 = 4.4 \pm 0.3$，并表明高-twist 贡献可忽略，且二阶 chiral perturbation theory 得到 $ar{l}_4 = 6.60 \pm 0.43$，与作者的估计一致，但与较低的值不相容。

ABSTRACT

The pion scalar radius is given by $=(6/π)\int_{4M^2_π}^\infty{ m d}t δ_S(t)/t^2$, with $δ_S$ the phase of the scalar form factor. Below $\bar{K}K$ threshold, $δ_S=δ_0$, $δ_0$ being the isoscalar, S-wave $ππ$ phase shift. Between $\bar{K}K$ threshold and $t^{1/2}\sim 1.5 { m GeV}$ I argued, in two previous letters, that one can approximate $δ_S\simδ_0$, because inelasticity is small, compared with the errors. This gives $=0.75\pm0.07 { m fm}^2$ and the value $\bar{l}_4=5.4\pm0.5$ for the one-loop chiral perturbation theory constant, compared with the values given by Leutwyler and collaborators, $=0.61\pm0.04 { m fm}^2$ and $\bar{l}_4=4.4\pm0.3$. At high energy, $t^{1/2}>1.5 { m GeV}$, I remarked that the value of $δ_S$ that follows from perturbative QCD agrees with my interpolation and disagrees with that of Leutwyler and collaborators. In a recent article, Caprini, Colangelo and Leutwyler claim that my estimate of the asymptotic phase $δ_S$ is incorrect as it neglects higher twist contributions. Here I remark that, when correctly calculated, higher twist contributions are likely negligible. I also show that chiral perturbation theory gives $\bar{l}_4=6.60\pm0.43$, compatible with my estimate but widely off the value $\bar{l}_4=4.4\pm0.3$ of Leutwyler and collaborators.

研究动机与目标

• 使用幺正性和色散关系重新评估标量半径和 chiral perturbation theory 常数 $\bar{l}_4$。
• 挑战 Leutwyler 及其合作者报告的 $ar{l}_4 = 4.4 \pm 0.3$ 的值。
• 论证 pion 形因子渐近相位的高-twist 贡献可忽略。
• 表明二阶 chiral perturbation theory 得到 $ar{l}_4 = 6.60 \pm 0.43$，与作者的估计一致，但与 Leutwyler 等人的较低值不相容。

提出的方法

• 使用色散关系 $\langle r^2_S \rangle = (6/\pi) \int_{4M_\pi^2}^\infty dt\, \delta_S(t)/t^2$ 计算标量半径。
• 在 $1.5\,\text{GeV}$ 以下近似 $\delta_S(t) \approx \delta_0(t)$，此时非弹性效应较小。
• 通过与微扰 QCD 预测比较标量形因子的渐近行为，验证相位近似。
• 对 $\pi\pi$ 弹性散射数据进行二阶 chiral perturbation theory 拟合，包含低能定理的约束。
• 评估高-twist 贡献对 pion 形因子的影响，并论证在正确处理下其可忽略。
• 将结果与 Caprini、Colangelo 和 Leutwyler 的结果进行比较，表明其对渐近相位的估计与作者结果不一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非弹性效应较小时，近似 $\delta_S(t) \approx \delta_0(t)$ 在 $1.5\,\text{GeV}$ 以下是否成立？
• RQ2 pion 形因子渐近相位的高-twist 贡献是否显著或可忽略？
• RQ3 二阶 chiral perturbation theory 是否得到与作者估计 $5.4 \pm 0.5$ 一致的 $ar{l}_4$ 值？
• RQ4 Leutwyler 等人报告的 $ar{l}_4 = 4.4 \pm 0.3$ 为何与作者估计和二阶拟合结果不一致？
• RQ5 作者估计与 Leutwyler 等人结果之间的差异是否可由二阶修正解释？

主要发现

• 在 $1.5\,\text{GeV}$ 以下使用 $\delta_S(t) \approx \delta_0(t)$ 近似，得出 pion 标量半径为 $\langle r^2_S \rangle = 0.75 \pm 0.07\,\text{fm}^2$。
• chiral perturbation theory 常数确定为 $\bar{l}_4 = 5.4 \pm 0.5$，挑战了 Leutwyler 等人报告的 $4.4 \pm 0.3$。
• 当正确计算时，标量形因子渐近相位的高-twist 贡献被证明可忽略。
• 二阶 chiral perturbation theory 得到 $\bar{l}_4 = 6.60 \pm 0.43$，与作者估计一致，但与 $4.4 \pm 0.3$ 不相容。
• 包含二阶效应和低能定理约束的 $\pi\pi$ 散射数据拟合支持 $\bar{l}_4 = 6.60 \pm 0.43$，$ \chi^2/\text{d.o.f.} = 3.8/4$ 或 $7.9/6$，具体取决于是否包含 F 波数据。
• 若要调和作者估计与 Leutwyler 等人结果之间的差异，需引入超过 50% 的二阶修正，这在物理上不可信。