[论文解读] Some congruences for trinomial coefficients

Hui-Qin Cao, Hao Pan|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文建立了关于三项式系数模素数幂的新同余式，将已知的二项式系数结果推广至三项式系数。通过生成函数、递推关系及勒让德符号的性质，证明了模 $ p $ 和 $ p^2 $ 下三项式系数的和表现出依赖于 $ p \mod 3 $ 的周期性，给出了涉及卡塔兰数类项的交错和与归一化和的显式公式。

ABSTRACT

We prove several congruences for trinomial coefficients.

研究动机与目标

• 将已知的二项式系数同余式推广至模素数幂下的三项式系数。
• 推导出三项式系数和 $ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{k}{d}_2 \mod p $ 和 $ \mod p^2 $ 的显式公式，取决于 $ d $ 的奇偶性。
• 分析交错和 $ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k \binom{k}{d}_2 \mod p^2 $，特别是对较小的 $ d $。
• 证明孙提出的关于 $ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{T_k}{3^k} \mod p^2 $ 的猜想，其中 $ T_k $ 为中间三项式系数。
• 通过生成函数和组合恒等式，将三项式系数和与递推序列及勒让德符号条件联系起来。

提出的方法

• 使用生成函数：$ (1+x+x^{-1})^n = \sum_{k=-n}^n \binom{n}{k}_2 x^k $，表达三项式系数的部分和。
• 利用恒等式 $ \sum_{k=0}^{n-1} \binom{k}{d}_2 = \sum_{\substack{k=1 \\ k+d \equiv 1 \mod 2}}^n \binom{n}{k} \binom{k-1}{(k+d-1)/2} $，将和的计算简化为二项式系数恒等式。
• 应用模 $ p $ 的已知同余式，如 $ \binom{p}{k} \equiv 0 \mod p $ 和 $ \binom{p-1}{k} \equiv (-1)^k \mod p $，以简化和的计算。
• 引入递推序列 $ \mathcal{S}_n $，定义为 $ \mathcal{S}_0 = 0, \mathcal{S}_1 = 1, \mathcal{S}_{n+1} = 4\mathcal{S}_n - \mathcal{S}_{n-1} $，用于表示模 $ p $ 下的和。
• 通过生成函数运算：$ \sum_{k=0}^{p-1} \left( \frac{1+x+x^{-1}}{3} \right)^k = \frac{(1+x+x^{-1})^p / 3^p - 1}{(1+x+x^{-1})/3 - 1} $，计算 $ \sum T_k / 3^k \mod p^2 $。
• 应用模 $ p^2 $ 下的二项式系数展开，包括 $ \binom{p}{k} \equiv (-1)^k p / k \mod p^2 $ 和 $ \binom{2p-3k}{p-1-3k} \equiv -3k \mod p $，以提取系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于奇数和偶数 $ d $，三项式系数和 $ \sum_{k=0}^{p-1} \binom{k}{d}_2 \mod p $ 的行为如何？能否以闭式表达？
• RQ2 对于奇数 $ d $，$ \frac{1}{p} \sum_{k=0}^{p-1} \binom{k}{d}_2 \mod p $ 的结构是什么？它与调和类和与勒让德符号有何关联？
• RQ3 交错和 $ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k \binom{k}{d}_2 \mod p^2 $ 能否显式计算，特别是对较小的 $ d $？
• RQ4 和 $ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{T_k}{3^k} \mod p^2 $ 的值是多少？它如何依赖于 $ p \mod 3 $，如孙所猜想？
• RQ5 递推序列如 $ \mathcal{S}_n $ 和切比雪夫类多项式 $ v_n(x) $ 如何帮助证明三项式系数和的同余式？

主要发现

• 对于奇数 $ d $，有 $ \frac{1}{p} \sum_{k=0}^{p-1} \binom{k}{d}_2 \equiv \frac{(-1)^{(d+1)/2}}{2} \left( \sum_{k=1}^{(d-1)/2} \frac{(-1)^k}{k} - 3 \sum_{\substack{1 \leq k \leq (d-1)/2 \\ 3 \mid k+p}} \frac{(-1)^k}{k} \right) \mod p $。
• 对于偶数 $ d $，有 $ \frac{1}{p} \left( (-1)^{d/2} \sum_{k=0}^{p-1} \binom{k}{d}_2 - (-1)^{(p-1)/2} \right) \equiv -3 \left( \frac{-2}{p} \right) \frac{\mathcal{S}_{(p - \genfrac{(}{)}{}{}{3}{p})/2}}{p} - 2 \sum_{0 \leq j < d/2} \frac{(-1)^j}{2j+1} + 3 \sum_{\substack{0 \leq j < d/2 \\ 3 \nmid p - 2j - 1}} \frac{(-1)^j}{2j+1} \mod p $。
• 当 $ d = 0 $ 时，有 $ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k \binom{k}{0}_2 \equiv p \cdot \frac{3 \genfrac{(}{)}{}{}{p}{3} - 1}{2} \mod p^2 $。
• 当 $ d = 1 $ 时，有 $ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k \binom{k}{1}_2 \equiv 1 - p \cdot \frac{3 \genfrac{(}{)}{}{}{p}{3} - 1}{2} \mod p^2 $。
• 当 $ d = 2 $ 时，有 $ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k \binom{k}{2}_2 \equiv -2 + 3p \genfrac{(}{)}{}{}{p}{3} \mod p^2 $。
• 对于 $ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{T_k}{3^k} $，有 $ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{T_k}{3^k} \equiv \begin{cases} p \mod p^2 & \text{若 } p \equiv 1 \mod 3, \\ 0 \mod p^2 & \text{若 } p \equiv 2 \mod 3. \end{cases} $