[论文解读] Some Connections Between (Sub)Critical Branching Mechanisms and Bernstein Functions

Jean Bertoin, Bernard Roynette+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文通过与幂函数 $\mathbf{e}_\alpha(x) = x^\alpha$ 的复合，建立了（次）临界分支机制与 Bernstein 函数之间的深层函数联系。证明了当 $\alpha \in (0, 1/2]$ 时，将任意（次）临界分支机制 $\Psi$ 与 $\mathbf{e}_\alpha$ 复合，可得到一个 Bernstein 函数，并刻画了在复合下保持该性质的所谓‘内部函数’的类。

ABSTRACT

We describe some connections, via composition, between two functional spaces: the space of (sub)critical branching mechanisms and the space of Bernstein functions. The functions ${\bf e}_α: x o x^α$ where $x\geq0$ and $0

研究动机与目标

• 研究（次）临界分支机制与 Bernstein 函数之间的函数复合关系。
• 确定对于哪些幂函数 $\mathbf{e}_\alpha(x) = x^\alpha$，复合函数 $\Psi \circ \mathbf{e}_\alpha$ 对所有属于（次）临界分支机制空间的 $\Psi$ 均保持为 Bernstein 函数。
• 刻画所谓的‘内部函数’类——即满足对所有 $\Psi \in \mathbf{B}_3$ 都有 $\Psi \circ \Phi$ 为 Bernstein 函数的 Bernstein 函数 $\Phi$。
• 统一并扩展关于完全单调函数、Bernstein 函数以及分支机制在分析中变换的古典结果。

提出的方法

• 作者定义了三个函数空间：$\mathbf{B}_1$（满足 $\int (1 \wedge x^{-1}) \mu(dx) < \infty$ 的测度的 Laplace 变换），$\mathbf{B}_2$（Bernstein 函数），以及 $\mathbf{B}_3$（（次）临界分支机制），每个空间均构成一个凸锥。
• 他们分析了 $\Psi \in \mathbf{B}_3$ 与 $\mathbf{e}_\alpha(q) = q^\alpha$ 的复合 $\Psi \circ \mathbf{e}_\alpha$，证明 $\Psi \circ \mathbf{e}_\alpha \in \mathbf{B}_2$ 当且仅当 $\alpha \leq 1/2$。
• 该证明依赖于 $\mathbf{e}_\alpha$ 作为 Bernstein 函数的 Lévy-Khintchine 表示：$\mathbf{e}_\alpha(q) = \frac{\alpha}{\Gamma(1-\alpha)} \int_0^\infty (1 - e^{-qx}) x^{-1-\alpha} dx$，该式在 $\alpha \in (0,1)$ 时成立。
• 他们利用完全单调函数及其 Laplace 变换的性质，特别是：若 $f \in \mathbf{B}_2$，则 $1/f \in \mathbf{CM}$，且若 $f \in \mathbf{B}_3$，则 $f^{-1} \in \mathbf{B}_2$。
• 他们应用复合规则：若 $f \in \mathbf{CM}$ 且 $g \in \mathbf{B}_2$，则 $f \circ g \in \mathbf{CM}$；若 $f, g \in \mathbf{B}_2$，则 $f \circ g \in \mathbf{B}_2$，在适当条件下成立。
• 他们推导了关于反函数和 Stieltjes 变换的结果，表明若 $f \in \mathbf{B}_2$ 且 $f'$ 是 Stieltjes 变换，则对任意 $g \in \mathbf{B}_2$，有 $f \circ (1/g)$ 是完全单调的。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $\alpha \in (0,1)$，复合函数 $\Psi \circ \mathbf{e}_\alpha$ 对所有（次）临界分支机制 $\Psi$ 均为 Bernstein 函数？
• RQ2 哪些特性刻画了 Bernstein 函数 $\Phi$ 的类，使得对所有 $\Psi \in \mathbf{B}_3$，复合 $\Psi \circ \Phi$ 仍为 Bernstein 函数？
• RQ3 （次）临界分支机制的反函数如何与 Bernstein 函数相关联？它们继承了哪些函数性质？
• RQ4 临界参数 $\alpha = 1/2$ 在分支机制与幂函数复合中的作用是什么？
• RQ5 在何种条件下，Bernstein 函数与另一 Bernstein 函数的倒数的复合是完全单调的？

主要发现

• 复合 $\Psi \circ \mathbf{e}_\alpha$ 是 Bernstein 函数对所有 $\Psi \in \mathbf{B}_3$ 成立，当且仅当 $\alpha \leq 1/2$，其中 $\alpha = 1/2$ 是临界阈值。
• $\mathbf{e}_{1/2}(q) = q^{1/2}$ 是一个 Bernstein 函数，并将 $\mathbf{B}_3$ 映射到 $\mathbf{B}_2$，推广了早期工作中已知的结果。
• 内部函数类——即满足对所有 $\Psi \in \mathbf{B}_3$ 都有 $\Psi \circ \Phi \in \mathbf{B}_2$ 的 Bernstein 函数 $\Phi$ —— 被刻画为满足当 $q \to 0^+$ 时 $\Phi(q) \sim c q^\alpha$ 且 $\alpha \leq 1/2$，同时 $\Phi$ 单调递增且凹的函数。
• 对 $\Psi \in \mathbf{B}_3$ 且 $\Psi \neq 0$，其反函数 $\Phi = \Psi^{-1}$ 是一个 Bernstein 函数，且 $1/\Phi'$ 与 $q/\Phi(q)$ 均为 Bernstein 函数。
• 对 $\Phi = \Psi^{-1}$，函数 $1/(\Phi \Phi')$ 是完全单调的，这源于 $\Psi' / q$（属于 $\mathbf{CM}$）与 $\Phi \in \mathbf{B}_2$ 的复合。
• 若 $f \in \mathbf{B}_2$ 且 $f'$ 是 Stieltjes 变换，则对任意 $g \in \mathbf{B}_2$，有 $f \circ (1/g)$ 是完全单调的，这扩展了子序过程与 Lévy 过程理论中已知的复合规则。