[论文解读] Some convergence analysis for multicontinuum homogenization

Wing Tat Leung|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2024

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 5

一句话总结

本文分析基于 NLMC 的向下采样的多连续体均质化，推导均质化方程，并给出收敛性结果，表明当宏观函数光滑时误差较小，在光滑假设下具有 L2 收敛。

ABSTRACT

In this paper, we provide an analysis of a recently proposed multicontinuum homogenization technique. The analysis differs from those used in classical homogenization methods for several reasons. First, the cell problems in multicontinuum homogenization use constraint problems and can not be directly substituted into the differential operator. Secondly, the problem contains high contrast that remains in the homogenized problem. The homogenized problem averages the microstructure while containing the small parameter. In this analysis, we first based on our previous techniques, CEM-GMsFEM, to define a CEM-downscaling operator that maps the multicontinuum quantities to an approximated microscopic solution. Following the regularity assumption of the multicontinuum quantities, we construct a downscaling operator and the homogenized multicontinuum equations using the information of linear approximation of the multicontinuum quantities. The error analysis is given by the residual estimate of the homogenized equations and the well-posedness assumption of the homogenized equations.

研究动机与目标

• 受到多尺度、高对比度多孔介质的驱动，其中标准均质化在处理多个连续体时遇到困难。
• 开发一个与任意离散化兼容的多连续体均质化框架。
• 推导一个保持连续体结构的宏观局部平均的上尺度模型。
• 提供严格的误差与收敛性估计，将微观解与均质化解联系起来。

提出的方法

• 引入两个向下采样算子 P_{H_{ au},H}^{z} 和 P_{H_{ au}}^{z}，将宏观变量映射到细尺度表示。
• 构造一个均质化双线性算子 tilde{a}_{H_{ au},H}，利用线性近似基 η_{x,i}, η_{x,i}^{(k)} 以及对尺度 H 的局部平均，来对多尺度算子 a_{ε} 进行平均。
• 证明 tilde{a}_{H_{ au},H} 等于 a_{ε} 在滑动窗口中的平均作用（方程式 5）。
• 在 [H^1(Ω)]^2 上为 (U_{0,H_{ au},H}, U_{1,H_{ au},H}) 形式化上尺度问题，右侧由平均化的 f 给出。
• 通过 NLMC 基础提供非局部到局部的联系，并将向下采样的解与全局 NLMC 基底相关联。
• 通过残差估计和对均质化系统的良定性假设来证明收敛性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将多连续体均质化形成以便与通用数值离散化协同工作，同时保持多个连续体？
• RQ2 从非局部多连续体公式得到宏观局部 PDE 形式的精确向下采样和平均机制是什么？
• RQ3 在何种正则性与对比条件下，均质化解收敛到真实的多尺度解？
• RQ4 向下采样的均质化解与精确解之间的误差界是多少，以及它们如何依赖于 H、H_ε 和宏观正则性？
• RQ5 对逆均质化算子的平滑性假设是否能给出定量的 L^2 收敛结果？

主要发现

• 当宏观变量足够光滑时，经典的 NLMC 向下采样可以被多连续体向下采样近似（引理 2）。
• 推导出一个均质化双线性形式 tilde{a}_{H_{ au},H}，作为多尺度算子 a_{ε} 的平均，得到具有系数 α_{kl}, β_k, γ 的有效 PDE，这些系数取决于局部基的富集（方程式 4）。
• 在假设 2kH_ε < H 且 k = O(log(1/H_ε)) 的前提下，均质化方程的残差被 C log(1/H_ε) H^α 乘以 f 的 L^2 范数所界定（引理 3）。
• 在对逆算子 A_{H_ε,H}^{-1,*} 的平滑性假设下，真实解 u_ε 与向下采样的均质化解之间的 L^2 差被 C log(1/H_ε) H^α 所界定（定理 4）。
• 该框架依赖于三尺度设置（ε、H_ε、H），并通过（U_0, U_1）构建宏观表示，伴随强正则性假设以获得宏观守恒定律。