[论文解读] Some counterexamples in dynamics of rational semigroups

Rich Stankewitz, Toshiyuki Sugawa+1 more|ArXiv.org|Aug 25, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 12

一句话总结

本文构造了有理半群动力系统中三个猜想的显式反例，表明由两个朱利亚集不等的有理函数生成的半群的完全不变朱利亚集 $ E(G) $ 可以是一条闭线段——这与 $ E(G) $ 必须为简单闭曲线，或 $ J(G) = E(G) $ 意味着近乎阿贝尔结构的猜想相矛盾。这些例子表明，关键猜想需经修正以允许例外情况。

ABSTRACT

We give an example of two rational functions with non-equal Julia sets that generate a rational semigroup whose completely invariant Julia set is a closed line segment. We also give an example of polynomials with unequal Julia sets that generate a non nearly Abelian polynomial semigroup with the property that the Julia set of one generator is equal to the Julia set of the semigroup. These examples show that certain conjectures in the field of dynamics of rational semigroups do not hold as stated and therefore require the allowance of certain exceptional cases.

研究动机与目标

• 为否定有理半群动力系统中关于完全不变朱利亚集 $ E(G) $ 和近乎阿贝尔性质的结构约束猜想（Conjectures 1.1, 1.2, 和 1.4）
• 证明即使生成元的朱利亚集不等，$ E(G) $ 仍可为闭线段，从而反驳 $ E(G) $ 必须为简单闭曲线的预期
• 构造一个非近乎阿贝尔的多项式半群，使得半群的朱利亚集等于某一生成元的朱利亚集，从而否定已知定理的逆命题
• 表明在有理半群中 $ J(G) \subsetneq E(G) $ 是可能的，挑战了 $ J(G) = E(G) $ 暗示结构规则性的假设
• 通过识别非一致动力系统与非阿贝尔半群中的必要例外情况，对现有猜想进行修正

提出的方法

• 构造有理函数 $ f(z) = 2z - 1/z $ 和 $ g(z) = 2z - 4/z $，其朱利亚集不等，但均保持扩展实直线 $ \overline{\mathbb{R}} $ 不变，从而导致 $ E(G) \subset \overline{\mathbb{R}} $
• 通过莫比乌斯共轭 $ \phi(z) = 2z $ 将 $ f $ 和 $ g $ 变换为新的有理映射 $ \tilde{f}, \tilde{g} $，满足 $ \phi(J_f) = 2J_f $，保持动力系统性质，同时确保 $ E(\tilde{G}) = \phi(\overline{\mathbb{R}}) = I $，即一个闭区间
• 通过反证法证明 $ E(G) = \overline{\mathbb{R}} $：假设存在非退化的区间 $ (x,y) \subset \mathbb{R} \setminus E(G) $，则会导致 $ g^{-1}(f(x)) \subset E(G) $，与不相交性矛盾
• 应用蒙泰尔定理证明 $ \overline{\mathbb{C}} \setminus [-2,2] \subset N(G) $，从而推出 $ J(G) = [-2,2] $，而 $ J_g \subset [-1,1] $，故 $ J_g \neq J_f $
• 利用比德尔森关于交换族的定理，通过构造一个半群，使得 $ J_h = J(G) $ 但 $ G $ 不是近乎阿贝尔的，从而证明近乎阿贝尔结构的逆命题不成立
• 验证 $ f(z) = z^2 - 2 $，$ g(z) = 4z^2 - 2 $ 满足 $ J_f = [-2,2] $，$ J_g \subset [-1,1] $，且 $ J(G) = J_f $，其中 $ g $ 以 $ 2:1 $ 映射 $ [-1,1] $ 到 $ [-2,2] $

实验结果

研究问题

• RQ1 由两个朱利亚集不等的映射生成的有理半群，其完全不变朱利亚集 $ E(G) $ 是否可能为闭线段？
• RQ2 $ J(G) = E(G) $ 是否意味着半群近乎阿贝尔，即使仅一个生成元与半群的朱利亚集相同？
• RQ3 在有理半群中，$ J(G) \subsetneq E(G) $ 是否可能，从而反驳 $ E(G) $ 在完全不变性下为极小集的预期？
• RQ4 是否存在一个非近乎阿贝尔的半群，使得其朱利亚集等于其某一生成元的朱利亚集？
• RQ5 在何种条件下，单个生成元 $ h $ 满足 $ J_h = J(G) $ 无法推出半群 $ G $ 是近乎阿贝尔的？

主要发现

• 半群 $ G = \langle f, g \rangle $，其中 $ f(z) = 2z - 1/z $，$ g(z) = 2z - 4/z $，满足 $ E(G) = \overline{\mathbb{R}} $，即闭线段，尽管 $ J_f \neq J_g $，从而否定了猜想 1.1 和 1.2
• 经莫比乌斯共轭后，半群 $ \tilde{G} = \langle \tilde{f}, \tilde{g} \rangle $ 满足 $ E(\tilde{G}) = I $，即闭区间，且 $ J(\tilde{G}) \subsetneq I $，表明 $ J(G) \subsetneq E(G) $ 是可能的
• 多项式半群 $ G = \langle f, g \rangle $，其中 $ f(z) = z^2 - 2 $，$ g(z) = 4z^2 - 2 $，满足 $ J(G) = [-2,2] = J_f $，但 $ J_g \subset [-1,1] $，故 $ J_f \neq J_g $，且 $ G $ 不是近乎阿贝尔的
• 该例子表明，单个生成元 $ h $ 满足 $ J_h = J(G) $ 并不能推出 $ G $ 是近乎阿贝尔的，因此否定了猜想 1.4
• 完全不变朱利亚集 $ E(G) $ 即使在生成元朱利亚集不等时，仍可为线段，表明此类集合不一定是简单闭曲线
• 该构造证实 $ E(G) $ 并不总是等于 $ J(G) $，且 $ J(G) \subsetneq E(G) $ 与有理半群的动力系统一致，因此需对先前猜想进行修正