[论文解读] Some enumerations of binary digital images

P. Christopher Staecker|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2015

Digital Image Processing Techniques参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文对 ℤ² 中 4-邻接和 8-邻接下的连通二值数字图像进行了穷举枚举，按刚性、不可约性和带点不可约性进行分类。通过 Sage 的计算机辅助暴力搜索，发现非刚性不可约图像极为罕见，并推测其恰好为 n > 4 时的环图 Cₙ。

ABSTRACT

The topology of digital images has been studied much in recent years, but no attempt has been made to exhaustively catalog the structure of binary images of small numbers of points. We produce enumerations of several classes of digital images up to isomorphism and decide which among them are homotopy equivalent to one another. Noting some patterns in the results, we make some conjectures about digital images which are irreducible but not rigid.

研究动机与目标

• 系统枚举 ℤ² 中所有在 4-和 8-邻接下连通的二值数字图像，直至同构。
• 根据同伦理论性质对这些图像进行分类：刚性、不可约性和带点不可约性。
• 识别非刚性不可约图像中的模式，并对其结构提出猜想。
• 为未来数字拓扑研究提供机器可读的数据和可视化结果。

提出的方法

• 使用 Sage 进行穷举式计算机搜索，枚举小点数下的所有连通简单图直至同构。
• 应用图同构检查，对 4-邻接（最多 12 个点）和 8-邻接（最多 9 个点）下的图像进行分类。
• 使用同伦等价的定义：若映射连续且保持图像结构，则其在一步内同伦于恒等映射。
• 实现算法以测试恒等映射是否在一步内同伦于非满射映射，从而判断不可约性。
• 通过检查仅有恒等映射同伦于自身来验证刚性。
• 证明每个 4-邻接图像均通过线性变换 f(x,y) = (x+y, x−y) 同构于一个 8-邻接图像。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℤ² 中，4-邻接下的哪些连通数字图像满足不可约但不刚性？
• RQ2 在 4-邻接下，是否存在除 n > 4 时的环图 Cₙ 之外的非刚性不可约图像？
• RQ3 在 4-和 8-邻接下，刚性、不可约性和带点不可约图像的数量如何随点数增长？
• RQ4 每个 4-邻接图像是否同构于一个 8-邻接图像？若是，通过何种变换？
• RQ5 哪些结构性质可表征 ℤ² 中非刚性不可约数字图像的特征？

主要发现

• 对于 4-邻接，仅当 n > 4 时的环图 Cₙ 为非刚性且不可约，表明它们是此类图像的唯一实例。
• 对于 8-邻接，同样模式成立：非刚性不可约图像的同构类仅限于 Cₙ（n > 4）。
• 由于增加了对角邻接，当 n ≥ 3 时，8-邻接图像的数量超过 4-邻接图像的数量。
• 根据文献 [4] 中的引理 2.9，恒等映射在一步内同伦于非满射映射，当且仅当图像不可约。
• 变换 f(x,y) = (x+y, x−y) 建立了 ℤ² 中任意 4-邻接图像与一个 8-邻接图像之间的同构关系。
• 图 2(a) 中的 13 个点 4-邻接图像为不可约但带点不可约，证实带点不可约性不蕴含不可约性。