[论文解读] Some exact results for generalized Tur\'an problems

Dániel Gerbner, Cory Palmer|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 22被引用 12

一句话总结

本文通过确定何时Turán图$T_{k-1}(n)$在$F$-自由图中最大化给定图$H$的副本数，为广义Turán问题建立了精确结果。研究证明，某些图——如完全多部图、路径$P_3$、$P_4$以及环$C_4$——对于特定的禁止图$F$（包括团和非团图如$F_2$，即两个共享一个顶点的三角形）是$F$-Turán-优良的。其主要贡献在于系统性地刻画了在广义Turán设定下使Turán图成为极值图的$H$。

ABSTRACT

Fix a $k$-chromatic graph $F$. In this paper we consider the question to determine for which graphs $H$ does the Tur\\'an graph $T_{k-1}(n)$ have the maximum number of copies of $H$ among all $n$-vertex $F$-free graphs (for $n$ large enough). We say that such a graph $H$ is $F$-Tur\\'an-good. In addition to some general results, we give (among others) the following concrete results: (i) For every complete multipartite graph $H$, there is $k$ large enough such that $H$ is $K_k$-Tur\\'an-good. (ii) The path $P_3$ is $F$-Tur\\'an-good for $F$ with $\\chi(F) \\geq 4$. (iii) The path $P_4$ and cycle $C_4$ are $C_5$-Tur\\'an-good. (iv) The cycle $C_4$ is $F_2$-Tur\\'an-good where $F_2$ is the graph of two triangles sharing exactly one vertex.

研究动机与目标

• 确定对于哪些图$H$，Turán图$T_{k-1}(n)$是在所有$n$阶$F$-自由图中最大化$H$副本数的图，其中$F$是$k$-色图。
• 建立$H$为$F$-Turán-优良的条件，即对所有充分大的$n$，有$\mathrm{ex}(n,H,F) = \mathcal{N}(H,T_{k-1}(n))$。
• 将广义Turán问题的已知结果从团推广到更一般的情形，特别是针对非团禁止图如$F_2$（两个共享一个顶点的三角形）。
• 提供$H$为$F$-Turán-优良的精确刻画，包括路径、环和完全多部图，在$F$的各种色数条件下。

提出的方法

• 将广义Turán函数$\mathrm{ex}(n,H,F)$定义为在任意$n$阶$F$-自由图中$H$副本数的最大值。
• 引入$F$-Turán-优良图的概念：若对所有大$n$有$\mathrm{ex}(n,H,F) = \mathcal{N}(H,T_{k-1}(n))$，则称$H$为$F$-Turán-优良图。
• 使用极值图论技术，包括$F$-自由图的稳定性和结构定理，特别利用Simonovits的色临界边定理。
• 应用优化论证和边添加/删除策略，以界定$F_2$-自由图中$C_4$副本数，证明$C_4$是$F_2$-Turán-优良图。
• 通过考虑邻域和禁止子图约束，分析边对$C_4$副本的贡献，根据某条边是否属于$K_4$来区分不同情形。
• 利用已知的$K_r$-自由图结果，并将其推广到更一般的$H$，使用递归分解和团结构条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些图$H$，Turán图$T_{k-1}(n)$是唯一在所有$n$阶$F$-自由图中使$\mathcal{N}(H,G)$最大的极值图？
• RQ2 在$F$和$H$满足何种条件下$H$是$F$-Turán-优良图，特别是当$F$不是团时？
• RQ3 环$C_4$是否是$F_2$-Turán-优良图，其中$F_2$是两个三角形恰好共享一个顶点的图？
• RQ4 每个完全多部图$H$是否在足够大的$k$下成为$K_k$-Turán-优良图？
• RQ5 路径$P_l$和偶环$C_{2l}$是否对满足色数至少为4或为奇环的$F$是$F$-Turán-优良图？

主要发现

• 对每个完全多部图$H$，存在足够大的$k$使得$H$是$K_k$-Turán-优良图。
• 路径$P_3$对任意满足$\chi(F) \geq 4$的$F$都是$F$-Turán-优良图。
• 路径$P_4$和环$C_4$是$C_5$-Turán-优良图，即$T_4(n)$在$C_5$-自由图中最大化它们的副本数。
• 环$C_4$是$F_2$-Turán-优良图，其中$F_2$是两个三角形恰好共享一个顶点的图，且有$\mathrm{ex}(n,C_4,F_2) = \mathcal{N}(C_4,T_2(n))$。
• 当$n$足够大时，Turán图$T_2(n)$是$F_2$-自由图中$C_4$的唯一极值图，这是由定理17的结构约束所决定的。
• 任意$F_2$-自由图$G$中$C_4$副本数至多为$\mathcal{N}(C_4,T_2(n))$，且等号成立当且仅当$G$是添加了一条不在任何$C_4$中的边的Turán图。