[论文解读] Some exact solutions for the rotational flow of a generalized second grade fluid between two circular cylinders
本文通过拉普拉斯变换和汉克尔变换，推导出在两个同轴圆柱体之间旋转流动的广义二级流体的精确解析解。主要贡献在于推导出依赖于分数阶参数 β 的速度和剪切应力分布，表明较低的 β 值可增强流体速度，尤其是在边界附近；当 β = 1 或 α = 0 时，解退化为二级流体和牛顿流体的解。
The velocity field and the associated tangential stress corresponding to flow of a generalized second grade fluid between two infinite coaxial circular cylinders, are determined by means of the Laplace and Hankel transforms. At time $t=0$ the fluid is at rest and at $t=0^+$ cylinders suddenly begin to rotate about their common axis with a constant angular acceleration. The solutions that have been obtained satisfy the governing differential equations and all imposed initial and boundary conditions. The similar solutions for a second grade fluid and Newtonian fluid are recovered from our general solutions. The influence of the fractional coefficient on the velocity of the fluid is also analyzed by graphical illustrations.
研究动机与目标
- 推导两个同轴圆柱之间广义二级流体旋转流动的速度场和剪切应力的精确解析解。
- 研究分数阶导数阶数 β 对粘弹性流体中流体动力学行为的影响。
- 在 β = 1 或 α = 0 时，恢复经典二级流体和牛顿流体解作为特例。
- 分析在恒定角加速度下突然旋转时流体的瞬态行为。
- 为利用分数阶本构方程建模复杂流变行为提供框架。
提出的方法
- 采用拉普拉斯变换和汉克尔变换求解控制流动的时间分数阶偏微分方程。
- 使用黎曼-刘维尔分数阶导数算子 D_t^β 来描述应力-应变关系中的粘弹性记忆效应。
- 应用广义 G-函数表示法，将解表示为闭式积分和级数形式。
- 通过贝塞尔函数正交性，利用拉普拉斯变换和汉克尔变换的反演，推导速度场和剪切应力场。
- 求解得到的特征值问题，从超越方程 B_1(R_1 r_n) = 0 确定根 r_n。
- 通过在 β = 1 或 α = 0 时恢复已知的二级流体和牛顿流体结果，验证解的正确性。
实验结果
研究问题
- RQ1本构方程中的分数阶参数 β 如何影响广义二级流体在圆柱形库埃特流动中瞬态速度分布？
- RQ2在两个同轴圆柱之间，广义二级流体在具有时间依赖角加速度的旋转流动中，其速度场和剪切应力的精确解析表达式是什么？
- RQ3在特定参数极限下，广义二级流体的解在多大程度上退化为二级流体和牛顿流体的解？
- RQ4分数阶参数 β 如何影响速度分布随时间及径向区域的发展？
- RQ5径向位置和边界条件在决定流体在突然旋转下的瞬态响应中起什么作用？
主要发现
- 随着分数阶参数 β 的减小，速度场增大，尤其在圆柱边界附近增强最为显著。
- 在相同边界条件下，广义二级流体的流动速度高于二级流体和牛顿流体，尤其当 β 值较低时。
- 当 β = 1 时，解退化为经典二级流体解；当 β = 1 且 α = 0 时，解退化为牛顿流体解。
- 流体的瞬态行为由涉及 νr_n²t / (1 + αr_n²) 的指数衰减项控制，表明其弛豫动力学依赖于径向模态和流体参数。
- 数值结果表明，β 的影响在内壁和外壁附近最强，且低 β 时速度分布的梯度更陡峭。
- 所推导的解对所有 t > 0 有效，并满足所有初始和边界条件，包括以恒定角加速度突然启动旋转。
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