[论文解读] Some examples of division symbol algebras of degree 3 and 5

Cristina Flaut, Diana Savin|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2013

Rings, Modules, and Algebras参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了一种高效算法，用于计算次数为 $n$ 的符号代数中的乘积，并利用 MAGMA 计算代数系统，在分圆域上构造了次数为 3 和 5 的明确除法符号代数的例子。关键贡献在于通过类域论和理想分解验证范数条件，证明了此类除法代数的存在性，从而解决了关于其在次数 2 以上是否存在这一长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

In this paper we provide an algorithm to compute the product between two elements in a symbol algebra of degree n and we find an octonion non-division algebra in a symbol algebra of degree three. Starting from this last idea, we try to find an answer to the question if there are division symbol algebras of degree three. The answer is positive and we provide, using MAGMA software, some examples of division symbol algebras of degree 3 and of degree 5. Moreover, we will give some interesting applications of the symbol algebras in number theory.

研究动机与目标

• 开发一种适用于任意次数 $n$ 的符号代数中快速乘法的实用算法。
• 研究次数为 3 和 5 的除法符号代数是否存在，以扩展至众所周知的四元数情形。
• 使用 MAGMA 提供次数为 3 和 5 的除法符号代数的明确计算示例。
• 探索符号代数、库默尔域与数论中类域论之间的联系。
• 确定符号代数为分裂或非除法代数的条件，特别是针对奇素数次数的情形。

提出的方法

• 基于非交换乘法规则 $yx = \xi xy$，开发了一套系统化的算法，用于计算符号代数 $\left(\frac{a,b}{K,\xi}\right)$ 中两个元素的乘积。
• 应用凯莱-迪克森过程构造高维代数（包括八元数），并利用其分析次数为 3 的符号代数中的非除法结构。
• 应用定理 1.1 检测符号代数是否为分裂代数：$\left(\frac{a,b}{K,\xi}\right)$ 为分裂代数当且仅当 $b$ 是 $K(\sqrt[n]{a})$ 中的范数。
• 利用库默尔域 $L = K(\sqrt[q]{\alpha})$ 中的类域论和理想分解，确定 $\left(\frac{\alpha, p^{h_L}}{K,\xi}\right)$ 为非除法代数的条件。
• 借助 MAGMA 计算范数方程，并验证数域中元素是否为范数，从而确认除法代数的性质。
• 应用定理 1.2 分析 $\mathbb{Z}[\xi]$ 中素数的分解行为，以研究有理素数在分圆域中的分裂性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 次数为 3 的除法符号代数能否存在？若能存在，其数论条件是什么？
• RQ2 如何算法化地计算次数为 $n$ 的符号代数中的乘积，以促进其显式构造？
• RQ3 库默尔域和类数在判断符号代数是否为分裂或除法代数中起什么作用？
• RQ4 八元数代数能否嵌入次数为 3 的符号代数中？这对其除法性质有何含义？
• RQ5 是否存在系统性方法，用于构造奇素数次数（如 5）的除法符号代数示例？

主要发现

• 本文通过 MAGMA 对范数方程的验证，成功构造了次数为 3 的显式除法符号代数示例，如 $\left(\frac{7,11}{\mathbb{Q}(\epsilon),\epsilon}\right)$、$\left(\frac{7,11+\epsilon}{\mathbb{Q}(\epsilon),\epsilon}\right)$、$\left(\frac{7,5}{\mathbb{Q}(\epsilon),\epsilon}\right)$ 和 $\left(\frac{7,5+\epsilon}{\mathbb{Q}(\epsilon),\epsilon}\right)$。
• 对于次数为 5 的情形，本文通过数域中范数计算，确认了除法符号代数的存在性，如 $\left(\frac{13,11}{\mathbb{Q}(\xi),\xi}\right)$ 和 $\left(\frac{13,11+\xi}{\mathbb{Q}(\xi),\xi}\right)$。
• 研究表明，当 $p$ 在库默尔域 $L = K(\sqrt[q]{\alpha})$ 中完全分裂时，$\left(\frac{\alpha, p^{h_L}}{K,\xi}\right)$ 为非除法代数，该结论基于理想类群的行为。
• 本文证明了所有有限域上的符号代数均为分裂代数，因为其满足定理 1.1 中的范数条件。
• 一个八元数非除法代数被嵌入到一个次数为 3 的符号代数中，表明此类代数可能包含非除法子结构。
• 用于计算符号代数中乘积的算法，使得在高次情形下高效验证代数性质成为可能。