[论文解读] Some Extensions of the Inversion Complexity of Boolean Functions

V. V. Kochergin, A. V. Mikhailovich|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2015

Machine Learning and Algorithms参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过证明：对于任意由单调函数和有限个非单调函数构成的基，计算一个布尔函数所需的最少非单调门数被紧密地限定在 ⌈log₂(d(F)+1)⌉ − c(B) 和 ⌈log₂(d(F)+1)⌉ 之间，其中 d(F) 是在所有递增输入元组链上值减少次数的最大值，c(B) 是与基相关的常数，从而扩展了马尔可夫关于反演复杂度的经典定理。该结果表明，即使某些非单调门的复杂度高于非门，马尔可夫的界依然近乎紧致。

ABSTRACT

The minimum number of NOT gates in a Boolean circuit computing a Boolean function is called the inversion complexity of the function. In 1957, A. A. Markov determined the inversion complexity of every Boolean function and proved that $\lceil\log_{2}(d(f)+1) ceil$ NOT gates are necessary and sufficient to compute any Boolean function $f$ (where $d(f)$ is maximum number of value changes from 1 to 0 over all increasing chains of tuples of variables values). In this paper we consider Boolean circuits over an arbitrary basis that consists of all monotone functions (with zero weight) and finite nonempty set of non-monotone functions (with unit weight). It is shown that the minimal sufficient for a realization of the Boolean function $f$ number of non-monotone gates is equal to $\lceil\log_{2}(d(f)+1) ceil - O(1)$. Similar extends of another classical result of A. A. Markov for the inversion complexity of system of Boolean functions has been obtained.

研究动机与目标

• 将马尔可夫1957年关于反演复杂度的结果推广到包含单调与非单调函数的任意基。
• 确定当非单调门满足 d(ωᵢ) > 1 时，其存在如何影响布尔函数的反演复杂度。
• 为计算任意布尔函数或函数系统所需的非单调门数建立紧致的下界与上界。
• 证明尽管某些非单调门的复杂度更高，反演复杂度依然与马尔可夫原始界渐近接近。

提出的方法

• 将布尔函数系统 F 的下降数 d(F) 定义为在任意递增输入元组链上值减少次数的最大值。
• 将电路建模为基 B = M ∪ {ω₁, ..., ωₚ} 上的电路，其中 M 为单调函数集合（权重为0），非单调函数 ωᵢ（权重为1）。
• 通过电路复杂度的归纳法证明：d(F) ≤ (2r(B) + 1)(2^{I_B(F)} − 1)，其中 r(B) = max{d(ωᵢ)} 对所有非单调门成立。
• 通过反向不等式推导出 I_B(F) 的下界，得到 I_B(F) ≥ ⌈log₂(d(F)+1)⌉ − c(B)，其中 c(B) = log₂(2r(B) + 1) + 1。
• 利用任意非门均可通过常数代换使用非单调函数模拟的事实，保持上界 I_B(F) ≤ ⌈log₂(d(F)+1)⌉。
• 通过结合推导出的下界与已知的上界，最终确立结果，证明其紧致性仅相差一个加法常数 c(B)。

实验结果

研究问题

• RQ1 马尔可夫的反演复杂度界能否推广到包含 d(ωᵢ) > 1 的非单调函数的任意基？
• RQ2 当非单调门具有更高的跳跃复杂度时，其存在如何影响计算某一函数所需的最少此类门数？
• RQ3 当非单调门并非简单的取非操作时，原始马尔可夫界 ⌈log₂(d(F)+1)⌉ 是否依然渐近有效？
• RQ4 是否存在最优加法常数 c(B)，使得任意基 B 上的反演复杂度与马尔可夫界之间的差距不超过 c(B)？
• RQ5 当基中包含具有复杂行为的非单调函数时，下降数 d(F) 是否仍然能完全刻画反演复杂度？

主要发现

• 对于任意形式为 M ∪ {ω₁, ..., ωₚ} 的完备基 B，布尔函数系统 F 的反演复杂度 I_B(F) 满足 ⌈log₂(d(F)+1)⌉ − c(B) ≤ I_B(F) ≤ ⌈log₂(d(F)+1)⌉，其中 c(B) = log₂(2r(B) + 1) + 1，且 r(B) = max{d(ωᵢ)}。
• 上界 I_B(F) ≤ ⌈log₂(d(F)+1)⌉ 成立，原因在于可通过常数代换使用任意非单调函数模拟非门。
• 下界通过电路复杂度的归纳法推导得出，表明 d(F) 随 I_B(F) 呈指数增长，其增长受基函数最大跳跃复杂度 r(B) 的约束。
• 结果表明，即使非单调门满足 d(ωᵢ) > 1（例如异或类函数），反演复杂度仍与马尔可夫原始界保持一个常数倍的差距。
• 常数 c(B) 仅依赖于基中非单调函数的最大跳跃复杂度 r(B)，而不依赖于函数的数量或具体身份。
• 该界紧致至多相差一个加法常数：对任意基 B，均存在函数使得反演复杂度达到下界，证明 c(B) 在一般情况下无法进一步优化。