[论文解读] Some Extremal Values of the Number of Congruences of a Finite Lattice

Júlia Kulin, Claudia Mureșan|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2018

Advanced Algebra and Logic参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文确定了大小为 $n$ 的有限格中第三、第四和第五大同余数，证明当 $n \geq 5$ 时，第三大同余数为 $5 \cdot 2^{n-5}$；当 $n \geq 6$ 时，第四和第五大同余数分别为 $2^{n-3}$ 和 $7 \cdot 2^{n-6}$。本文通过序和与水平和刻画了实现这些值的格结构及其同余格，扩展了关于有限格中极值同余计数的先前工作。

ABSTRACT

We study the smallest, as well as the largest numbers of congruences of lattices of an arbitrary finite cardinality $n$. Continuing the work of Freese and Cz\' edli, we prove that the third, fourth and fifth largest numbers of congruences of an $n$--element lattice are: $5\cdot 2^{n-5}$ if $n\geq 5$, respectively $2^{n-3}$ and $7\cdot 2^{n-6}$ if $n\geq 6$. We also determine the structures of the $n$--element lattices having $5\cdot 2^{n-5}$, respectively $2^{n-3}$ congruences, along with the structures of their congruence lattices.

研究动机与目标

• 确定给定大小 $n$ 的有限格中可能达到的极值——具体而言，第三、第四和第五大同余数。
• 刻画实现这些极值同余计数的 $n$-元素格。
• 描述实现第三、第四和第五大同余计数的格的同余格的同构类型。
• 扩展 Freese 和 Czédli 关于有限格中最大同余计数的先前结果。
• 通过识别哪些三元组 $(k, n, n)$（其中 $k$ 为极值同余计数）可由有限格表示，为 CFI-可表示性问题做出贡献。

提出的方法

• 作者使用基本格（$\mathcal{L}_r$，$N_5$，$\mathcal{L}_2 \times \mathcal{L}_3$，$\mathcal{L}_3 \boxplus \mathcal{L}_5$，$\mathcal{L}_4 \boxplus \mathcal{L}_4$）的序和与水平和构造极值格。
• 他们应用归纳法和结构分解技术，依赖于先前工作（例如，[8]）中关于小元素格的同余格结果。
• 本文利用关于分配格和模格的布尔同余格的已知结果，识别出所得同余格的同构类型。
• 利用格的同余格在格为分配格或模格时同构于链或布尔格的积这一事实。
• 第五大值的证明依赖于归纳论证，假设对较小的 $n$ 成立，并使用反证法排除中间值。
• 作者基于较小情形中观察到的结构模式，对实现 $7 \cdot 2^{n-6}$ 个同余的格的结构提出猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n \geq 5$，$n$-元素格中可能达到的第三大同余数是多少？
• RQ2 对于 $n \geq 6$，$n$-元素格中可能达到的第四大同余数是多少？
• RQ3 对于 $n \geq 6$，$n$-元素格中可能达到的第五大同余数是多少？
• RQ4 哪些 $n$-元素格实现这些极值同余计数？
• RQ5 实现第三、第四和第五大同余计数的格的同余格的同构类型是什么？

主要发现

• 当 $n \geq 5$ 时，$n$-元素格中第三大同余数为 $5 \cdot 2^{n-5}$，由形如 $\mathcal{L}_r \dotplus N_5 \dotplus \mathcal{L}_{n-r-3}$ 的格实现，其中 $r \in \overline{1,n-4}$。
• 当 $n \geq 6$ 时，第四大同余数为 $2^{n-3}$，由形如 $\mathcal{L}_r \dotplus (\mathcal{L}_2 \times \mathcal{L}_3) \dotplus \mathcal{L}_{n-r-4}$ 或 $\mathcal{L}_s \dotplus \mathcal{L}_2^2 \dotplus \mathcal{L}_t \dotplus \mathcal{L}_2^2 \dotplus \mathcal{L}_{n-s-t-4}$ 的格实现，其中 $s,t \in \mathbb{N}^*$ 且 $s+t \leq n-5$。
• 当 $n \geq 6$ 时，第五大同余数为 $7 \cdot 2^{n-6}$，作者猜想实现该值的格同构于 $\mathcal{L}_k \dotplus (\mathcal{L}_3 \boxplus \mathcal{L}_5) \dotplus \mathcal{L}_{n-k-4}$ 或 $\mathcal{L}_k \dotplus (\mathcal{L}_4 \boxplus \mathcal{L}_4) \dotplus \mathcal{L}_{n-k-4}$，其中 $k \in \overline{1,n-5}$。
• 实现 $5 \cdot 2^{n-5}$ 个同余的格的同余格同构于 $\mathcal{L}_2^{n-5} \times (\mathcal{L}_2 \dotplus \mathcal{L}_2^2)$，该同余格既非布尔格也非模格。
• 实现 $2^{n-3}$ 个同余的格的同余格同构于 $\mathcal{L}_2^{n-3}$，即布尔格，与该格为分配格一致。
• 实现 $2^{n-1}$ 或 $2^{n-2}$ 个同余的格的同余格为布尔格，分别同构于 $\mathcal{L}_2^{n-1}$ 或 $\mathcal{L}_2^{n-2}$，这是由于其底层格为分配格或模格。