[论文解读] Some families of generalized Mathieu-type power series, associated probability distributions and related functional inequalities involving complete monotonicity and log-convexity

Živorad Tomovski, Khaled Mehrez|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2016

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文引入了具有积分表示的广义Mathieu型幂级数，并推导出相关的概率分布、特征函数和矩。研究建立了完全单调性和对数凸性性质，进而导出新的函数不等式，包括Turán型不等式和指数型界，其中关键结果涉及Riemann zeta函数与Hurwitz-Lerch zeta函数的显式不等式。

ABSTRACT

By making use of the familiar Mathieu series and its generalizations, the authors derive a number of new integral representations and present a systematic study of probability density functions and probability distributions associated with some generalizations of the Mathieu series. In particular, the mathematical expectation, variance and the characteristic functions, related to the probability density functions of the considered probability distributions are derived. As a consequence, some interesting inequalities involving complete monotonicity and log-convexity are derived.

研究动机与目标

• 推导涉及序列{a_n}和参数α, β, μ, ν的广义Mathieu型幂级数的积分表示。
• 定义并分析与这些广义级数相关的概率密度函数和分布。
• 研究广义级数在变量r上的完全单调性和对数凸性。
• 利用单调性和凸性性质，推导新的函数不等式，包括Turán型不等式和指数型界。
• 通过辅助zeta型级数，建立广义Mathieu级数的紧下界和上界。

提出的方法

• 利用Fox-Wright函数和Meijer G-函数推导广义Mathieu级数的积分表示。
• 基于归一化的广义Mathieu级数引入概率密度函数，并计算其矩、方差和特征函数。
• 将完全单调性和对数凸性的概念应用于函数r ↦ S_{μ,ν}^{(α,β)}(√r, a, z)，证明其在(0, ∞)上完全单调且对数凸。
• 利用辅助zeta型级数ζ_{μ,ν}(α,β,z) = ∑ (ν)_n z^n / (n! a_n^{αμ−β}) 的比值推导不等式界。
• 应用引理1（关于导数比值单调性的结论）和l’Hospital法则推导指数型下界。
• 利用对数完全单调函数的超可加性性质，建立Turán型链中的第二个不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Mathieu型幂级数如何通过包含Fox-Wright函数等特殊函数的积分形式表示？
• RQ2 归一化的广义Mathieu级数的概率性质（PDF、矩、特征函数）是什么？
• RQ3 在何种条件下，广义Mathieu级数在参数r上是完全单调且对数凸的？
• RQ4 从单调性和凸性中可以推导出哪些函数不等式，例如Turán型不等式或指数型界？
• RQ5 辅助zeta型级数ζ_{μ,ν}(α,β,z)如何影响广义Mathieu级数的界？

主要发现

• 在条件γ(μα − β) > 1下，广义Mathieu级数S_{μ,ν}^{(α,β)}(r, {k^γ}, z) 可通过Meijer G-函数和Fox-Wright函数表示为积分形式。
• 函数r ↦ S_{μ,ν}^{(α,β)}(√r, a, z) 在(0, ∞)上完全单调且对数凸，意味着其满足Turán型不等式。
• 当辅助级数ζ_{μ,ν}(α,β,z)收敛时，对所有r₁, r₂ > 0，不等式S_{μ,ν}^{(α,β)}(√(r₁+r₂)/2, a, z)^2 ≤ S_{μ,ν}^{(α,β)}(√r₁, a, z) S_{μ,ν}^{(α,β)}(√r₂, a, z) 成立。
• 推导出指数型下界：S_{μ,ν}^{(α,β)}(r, a, z) ≥ 2ζ_{μ,ν}(α,β,z) exp(−μ ζ_{μ+1,ν}(α,β,z)/ζ_{μ,ν}(α,β,z) r²)。
• 对于特殊情形μ=2, r>0，有不等式2ζ(3) exp(−2ζ(5)/ζ(3) r²) ≤ S(r)成立，其中ζ(s)为Riemann zeta函数。
• 对于μ=3/2，建立了不等式π²/3 exp(−π²r²/10) ≤ S_{3/2}(r)，对所有r>0成立。