[论文解读] Some formulae for products of Fubini polynomials with applications

Levent Kargın|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2016

Advanced Mathematical Identities被引用 10

一句话总结

本文通过生成函数与积分变换推导出Fubini多项式与数的新显式公式，进而获得p-Bernoulli数与Apostol-Bernoulli函数的新封闭表达式。研究建立了Fubini多项式乘积的和与积分恒等式，包括广义二项式型恒等式及涉及Bernoulli数的积分公式，并在数论与分析中的特殊函数中具有应用价值。

ABSTRACT

In this paper we evaluate sums and integrals of products of Fubini polynomials and have new explicit formulas for Fubini polynomials and numbers. As a consequence of these results new explicit formulas for p-Bernoulli numbers and Apostol-Bernoulli functions are given. Besides, integrals of products of Apostol-Bernoulli functions are derived.

研究动机与目标

• 通过生成函数技术推导Fubini多项式与数的新显式公式。
• 将涉及Fubini数的古典二项式恒等式（如 ∑(n choose k)Fk = 2Fn）推广至不同参数下Fubini多项式的乘积。
• 建立Fubini多项式乘积的积分表示，其与Bernoulli数相关。
• 通过变换恒等式将结果推广至p-Bernoulli数与Apostol-Bernoulli函数。
• 为Apostol-Bernoulli函数提供新的封闭表达式及其乘积的积分表达式。

提出的方法

• 通过指数生成函数 ∑Fn(x;y)tn/n! = ext / (1 − y(et − 1)) 引入双变量Fubini多项式。
• 利用生成函数的微分与系数比较，推导递推关系与卷积恒等式。
• 应用分部积分法及单项式与Fubini多项式乘积的已知积分恒等式。
• 通过第一类与第二类Stirling数的矩阵求逆技术，证明求和恒等式。
• 通过变量代换，将已知恒等式转化为p-Bernoulli与Apostol-Bernoulli函数的新形式。
• 通过将 y = λ/(1−λ) 代入多项式积分恒等式，并与Apostol-Bernoulli函数关联，建立积分公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用生成函数与积分变换，为Fubini多项式推导出新的显式公式？
• RQ2 如何将经典的二项式恒等式 ∑(n choose k)Fk = 2Fn 推广至不同参数下Fubini多项式的乘积？
• RQ3 在 [−1, 0] 上，两个Fubini多项式乘积的积分是多少？其与Bernoulli数有何关联？
• RQ4 如何将结果推广至p-Bernoulli数与Apostol-Bernoulli函数？
• RQ5 关于Apostol-Bernoulli函数乘积，会涌现出哪些新的积分恒等式？

主要发现

• 推导出Fubini多项式的新显式公式：Fn(y) = ∑(k=0 to n) {n choose k} k! y^k [2^{n+1}(y+1)^k + (−1)^{k+1}] / (2y+1)^{k+1}，其中 y ≠ −1/2。
• 对于p-Bernoulli数，本文给出 B_{2n−1,p} = (p+1)/p ∑(k=0 to 2n−1) {2n−1 choose k+1} (−1)^{k+1} (k+1)! / (k+p+1)，并给出 B_{2n,p} 的类似公式。
• 证明了广义二项式型恒等式：(y+1) ∑(k=0 to n) (n choose k) Fk(y) Fn−k(y) = Fn+1(y) + Fn(y)。
• 建立了积分恒等式：∫_{−1}^0 Fm(y) Fn(y) dy = (−1)^m ∑(j=0 to m) (m choose j) B_{n+j}，其中 m ≥ 0，n ≥ 1。
• 推导出Apostol-Bernoulli函数的新公式：B_{n+1}(λ)/(n+1) = ∑(k=0 to n) {n choose k} k! (−λ)^k [2^{n+1}λ^k + (λ−1)^{k+1}] / (λ^2−1)^{k+1}，其中 λ ≠ ±1。
• 给出了两个Apostol-Bernoulli函数乘积的积分表达式：∫_{−∞}^0 Bm(λ) Bn(λ) dλ = (−1)^m (m+1)(n+1) ∑(j=0 to m) (m choose j) B_{n+j}。