[论文解读] Some Fractional Calculus results associated with the $I$-Function

Kuldeep Kumar Kataria, P. Vellaisamy|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 14被引用 3

一句话总结

本论文通过Marichev-Saigo-Maeda（MSM）算子推导出涉及广义$I$-函数的新分数阶微积分结果，该算子推广了Saigo和Erdélyi-Kober算子。研究结果表明，对$I$-函数的幂次倍数应用Caputo型MSM分数阶导数，将得到一个阶数更高的$I$-函数，从而推广了文献中已知的结果。

ABSTRACT

The effect of Marichev-Saigo-Maeda (MSM) fractional operators involving third Appell function on the $I$ function is studied. It is shown that the order of the $I$-function increases on application of these operators to the power multiple of the $I$-function. The Caputo-type MSM fractional derivatives are introduced and studied for the $I$-function. As special cases, the corresponding assertions for Saigo and Erdélyi-Kober fractional operators are also presented. The results obtained in this paper generalize several known results obtained recently in the literature.

研究动机与目标

• 通过MSM算子将分数阶微积分结果推广至最广义的特殊函数——$I$-函数。
• 研究Caputo型MSM分数阶导数对$I$-函数幂次倍数的作用。
• 证明这些算子的应用可提高$I$-函数的阶数。
• 在单一框架下统一并推广近期关于$H$-、$ar{H}$-和Meijer G-函数的研究结果。

提出的方法

• 通过含复参数的Mellin-Barnes型围道积分表示$I$-函数。
• 使用第三类Appell函数$F_3$作为核，将MSM分数阶积分与导数算子应用于$t^{-\rho}I^{m,n}_{p,q}(at^{-\nu})$。
• 通过与反向MSM积分算子复合，定义Caputo型MSM分数阶导数。
• 利用Mellin变换技术及Gamma函数的性质对所得表达式进行求值。
• 最终结果以参数经修改的新$I$-函数形式表达，通过围道积分与留数分析推导得出。
• 通过设定特定参数，提取出可恢复Saigo与Erdélyi-Kober算子的特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Marichev-Saigo-Maeda分数阶算子作用于$I$-函数的幂次倍数时，其对$I$-函数产生何种影响？
• RQ2 Caputo型MSM分数阶导数的显式形式是什么？
• RQ3 广义$I$-函数在MSM分数阶运算下是否保持不变？若保持，其参数如何变换？
• RQ4 所推导的结果如何推广已知的Saigo与Erdélyi-Kober分数阶算子结果？
• RQ5 在分数阶微分后，结果中$I$-函数的收敛性与解析性由何种条件保证？

主要发现

• 对$t^{-\rho}I^{m,n}_{p,q}(at^{-\nu})$应用Caputo型右侧行MSM分数阶导数，结果为阶数为$I^{m,n+3}_{p+3,q+3}$的新$I$-函数，其参数已修改。
• 变换过程增加了$I$-函数中的参数数量，反映出更高阶的推广形式。
• 结果以Mellin-Barnes积分表示的闭式表达，确认了在收敛条件下的解析性。
• 通过设定特定参数，可恢复已知的Saigo与Erdélyi-Kober分数阶算子结果。
• 所推导的公式推广了以往关于$H$-、$ar{H}$-和Meijer G-函数的研究结果，将它们统一于$I$-函数框架之下。
• 结果中$I$-函数的参数偏移量以原始参数与分数阶阶数的显式形式给出。