[论文解读] Some Fractional Functional Inequalities and Applications to Some Constrained Minimization Problems Involving a Local Non-linearity

Hichem Hajaiej|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文建立了分数阶函数不等式，包括分数阶 Polya-Szegö 不等式和分数阶 Gargliardo-Nirenberg 不等式，这些不等式被用于证明分数阶 Sobolev 空间到 Lebesgue 空间的紧嵌入。这些结果通过在对称递减重排下建立能量泛函的有界性和弱下半连续性，确保了涉及局部非线性的约束极小化问题的极小化子的存在性。

ABSTRACT

In this paper we prove the Fractional Gagliardo-Nirenberg Inequality, Polya-Szego Inequality and the Sharp Fractional Sobolev Inequality, we then provide an application of such inequalities in a constraiend variational problem involving the fractional gradient and alocal non-linearity

研究动机与目标

• 建立分数阶 Polya-Szegö 不等式，表明当 $ s \to 0 $ 时，对称递减重排会降低分数阶能量。
• 推导分数阶 Gargliardo-Nirenberg 不等式，作为嵌入和紧致性结果的关键工具。
• 通过分数阶不等式证明 $ W^{s,p}(\rr^n) $ 到 $ L^q(\rr^n) $ 的紧嵌入。
• 分析在 $ H^s(\rr^n) $ 中具有固定 $ L^2 $-范数和局部非线性的约束极小化问题。
• 通过对称递减重排和弱下半连续性证明极小化子的存在性。

提出的方法

• 使用傅里叶变换和贝塞尔核表示证明分数阶 Polya-Szegö 不等式，表明在对称重排下 $ \norm{\nabla_s u^*}_{L^2} \to \norm{\nabla_s u}_{L^2} $。
• 利用展开式 $ (1 - (1+|\rho|^2)^{-1})^s = 1 - \text{正项级数} $ 在频域中比较重排前后函数的差异。
• 应用文献 [3,9] 中的对称化引理，表明 $ \norm{G_{2k} * (u^* \tilde{u}^*)}_{L^1} \to \norm{G_{2k} * (u \tilde{u})}_{L^1} $，从而推导出能量下降。
• 通过插值和尺度变换推导分数阶 Gargliardo-Nirenberg 不等式，其中指标满足 $ \theta(1/p - s/n) + (1-\theta)/r = 1/q $。
• 利用不等式 $ \norm{u}_{L^{l+2}}^2 \to K' c^{4s/n} \norm{\nabla_s u}_{L^2}^2 $ 控制能量泛函中的非线性项。
• 应用弱下半连续性和 Rellich-Kondrachov 紧致性定理，证明 $ H^s(\rr^n) $ 中极小化序列的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ 0 < s \to 1 $ 时，分数阶 Polya-Szegö 不等式是否成立，以确保对称递减重排降低分数阶能量？
• RQ2 能否为 $ 0 < s < n $ 推导出精确的分数阶 Gargliardo-Nirenberg 不等式，明确依赖于 $ p, q, r, \theta $？
• RQ3 在什么条件下，嵌入 $ W^{s,p}(\rr^n) \to L^q(\rr^n) $ 是紧致的，特别是当 $ p=2 $ 且 $ q > 2 $ 时？
• RQ4 对于具有固定 $ L^2 $-范数和局部非线性的约束极小化问题，其在 $ H^s(\rr^n) $ 中是否存在极小化子？
• RQ5 临界指数 $ l $ 是多少，使得当 $ l > 4s/n $ 时 $ I_c = -\infty $，而何时 $ I_c > -\infty $？

主要发现

• 分数阶 Polya-Szegö 不等式成立：$ \norm{\nabla_s u^*}_{L^2}^2 \to \norm{\nabla_s u}_{L^2}^2 $，且在 $ s=0 $ 时取等，证明了重排下的能量降低。
• 分数阶 Gargliardo-Nirenberg 不等式已建立，其指标满足 $ \theta(1/p - s/n) + (1-\theta)/r = 1/q $，适用于 $ 1 < p < n/s $，$ 0 < s < n $。
• 当 $ q $ 满足 Gargliardo-Nirenberg 关系且 $ p < n/s $ 时，嵌入 $ W^{s,p}(\rr^n) \to L^q(\rr^n) $ 是紧致的，由 Rellich-Kondrachov 定理保证。
• 当 $ l \to 4s/n $ 时，能量泛函 $ E(u) $ 有下界，且所有极小化序列在 $ H^s(\rr^n) $ 中有界，前提是 $ c < (1/(2KK'))^{n/(4s)} $。
• 由于能量泛函和 $ L^2 $-范数在重排下不变，且具有弱下半连续性，极小化问题存在 Schwarz 对称极小化子。
• 当 $ l > 4s/n $ 时，下确界 $ I_c = -\infty $，表明由于能量泛函无下界，不存在极小化子。