[论文解读] Some fully nonlinear problems on manifolds with boundary of negative admissible curvature

Aobing Li, Huan Zhu|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文在紧致黎曼流形带边的情况下，建立了涉及修正的Schouten张量的完全非线性椭圆型偏微分方程解的存在性，该方程同时规定了标量曲率和平均曲率。通过在边界附近共形变形度量以确保负 Ricci 曲率，并利用先验估计与连续性方法，作者证明了存在一个 $ C^{4,\beta} $ 共形度量，解了具有给定边界数据的完全非线性曲率问题。

ABSTRACT

In this paper, we consider a fully nonlinear problem on manifolds with boundaries of negative admissible curvatures. As a consequence, we conclude the existence of certain types of metrics on the general differential manifolds with boundaries.

研究动机与目标

• 在紧致黎曼流形带边的情况下，建立完全非线性曲率问题解的存在性，其中标量曲率与平均曲率均被指定。
• 通过使用修正的Schouten张量 $ A_g^t $（$ t < 1 $）将先前关于边界Yamabe问题的结果推广至完全非线性情形。
• 在边界附近构造一个共形度量，使得 $ A_g^t $ 的负特征值位于给定的凸锥 $ \Gamma $ 内，从而保证椭圆性与可解性。
• 证明对于任意光滑紧致黎曼流形带边，可在边界附近找到一个共形度量，使得修正的Schouten张量满足所需的曲率条件，且平均曲率得到控制。

提出的方法

• 引入修正的Schouten张量 $ A_g^t = \frac{1}{n-2}\left(\text{Ric}_g - \frac{tR_g}{2(n-1)}g\right) $（$ t < 1 $），推广经典Schouten张量。
• 通过在边界附近的度量共形变形，确保 $ \text{Ric}_{g_3} < 0 $ 在 $ M $ 上成立，从而推出 $ -\lambda_{g_3}(A_{g_3}^t) \in \Gamma_n \subset \Gamma $（$ t < 1 $）。
• 应用连续性方法与先验估计，求解完全非线性PDE $ f(-\lambda_{\tilde{g}}(A^{t}_{\tilde{g}})) = \phi $ 在 $ M $ 上的解，其中 $ \tilde{g} \in [g] $ 是在 $ \partial M $ 附近与 $ g $ 共形的度量。
• 通过确保共形因子在变形过程中在边界上为常数，保持平均曲率条件 $ h_{\tilde{g}} = \psi $ 在 $ \partial M $ 上成立。
• 利用最大值原理与边界估计控制解在 $ \partial M $ 附近的性质，利用 $ h_{g_3} = 0 $ 在 $ \partial M $ 上成立的事实。
• 借助文献[15]的结果，将一个在 $ \partial M $ 附近满足 $ \text{Ric}_{g_2} < 0 $ 的度量 $ g_2 $ 延拓为在整个 $ M $ 上满足 $ \text{Ric}_{g_3} < 0 $ 的全局度量 $ g_3 $，从而保证所需的曲率条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在紧致黎曼流形带边的情况下，求解涉及修正Schouten张量的完全非线性曲率方程，同时规定标量曲率与平均曲率？
• RQ2 在背景度量与曲率算子满足何种条件下，可通过连续性方法保证解的存在性？
• RQ3 是否可能在边界附近共形变形给定度量，以确保负Ricci曲率，并保持修正Schouten张量的所需曲率锥条件？
• RQ4 在共形变形过程中，如何控制边界平均曲率，同时保持PDE的椭圆性？
• RQ5 在对数据 $ \phi $ 与 $ \psi $ 的假设尽可能弱的条件下，完全非线性曲率问题的解的正则性如何？

主要发现

• 对于任意光滑紧致黎曼流形 $ (M^n, g) $（$ n \geq 3 $）且边界非空，存在一个 $ C^{4,\alpha_0} $ 共形度量 $ \tilde{g} $ 在 $ \partial M $ 附近，使得 $ f(-\lambda_{\tilde{g}}(A^{t}_{\tilde{g}})) = \phi $ 且 $ h_{\tilde{g}} = \psi $ 在 $ \partial M $ 上成立，前提是 $ f \in C^{2,\alpha_0}(\Gamma) $ 满足所需的凸性与椭圆性条件。
• 该构造确保 $ -\lambda_{g_3}(A_{g_3}^t) \in \Gamma_n \subset \Gamma $ 在 $ M $ 上成立，从而保证PDE的椭圆性，并允许使用连续性方法。
• 本文证明了 $ \text{Ric}_{g_3} < 0 $ 在 $ M $ 上成立，这意味着 $ A_{g_3}^t $ 的特征值满足完全非线性算子所需的负性条件。
• 在给定曲率与边界条件的共形度量类中，解 $ \tilde{g} $ 是唯一的。
• 该结果对任意 $ t < 1 $ 成立，特别地，当 $ t = 0 $ 时，方程退化为 $ f(-\lambda_{\tilde{g}}(\text{Ric}_{\tilde{g}})) = \phi $，表明一类Ricci曲率型PDE的可解性。
• 解的存在性通过先验估计与连续性方法建立，关键步骤在于构造一个背景度量 $ g_3 $，其Ricci曲率为负且在 $ \partial M $ 上平均曲率为零。