[论文解读] Some functional forms of Blaschke-Santaló inequality

Matthieu Fradelizi, Mathieu Meyer|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2006

Point processes and geometric inequalities参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文为对数凹函数与Legendre变换的Blaschke-Santaló不等式建立了新的函数形式，推广了K. Ball的不等式，并扩展了Artstein、Klartag与Milman的近期结果。通过采用Brouwer不动点定理的新型中心化技巧及Prékopa-Leindler不等式，证明了当函数以其Santaló点为中心时，函数与其对偶的体积积达到最大，且等号成立当且仅当函数为高斯函数或在对称意义下等价。

ABSTRACT

We establish new functional versions of the Blaschke-Santaló inequality on the volume product of a convex body which generalize to the non-symmetric setting an inequality of K. Ball and we give a simple proof of the case of equality. As a corollary, we get some inequalities for $\log$-concave functions and Legendre transforms which extend the recent result of Artstein, Klartag and Milman, with its equality case.

研究动机与目标

• 将K. Ball关于对称函数的函数不等式推广至非对称情形。
• 将Artstein、Klartag与Milman近期关于凸函数Legendre变换的结果，推广至一般对数凹函数。
• 确定Blaschke-Santaló不等式函数形式的等号成立条件。
• 建立Blaschke-Santaló不等式在测度与凸集下成立的条件，特别是针对无条件与旋转不变的对数凹测度。

提出的方法

• 为以$ z $为中心的函数$ f $定义一个星形集$ K_z $，利用积分条件$ \int_0^\infty r^{n-1} f(z + rx) \, dr \geq 1 $。
• 利用Brouwer不动点定理证明存在一点$ z_0 $，使得$ K_{z_0} $的质心位于原点。
• 对几何平均应用Prékopa-Leindler不等式，推导出$ f_1 $与$ f_2 $之间的对偶关系，从而得到包含关系$ K_2 \subset c_n(\rho) K_1^\circ $。
• 在所得凸体上应用经典的Blaschke-Santaló不等式，以界定积分乘积的上界。
• 通过对称性与Steiner对称化性质证明等号成立条件，表明等号成立当且仅当函数为高斯函数或在对称意义下等价。
• 将主不等式应用于凸函数的Legendre变换，证明体积积被高斯函数的体积积所控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，函数形式的Blaschke-Santaló不等式对非中心化的对数凹函数成立？
• RQ2 使得函数与其对偶的体积积最大的最优中心$ z $为何？
• RQ3 对于哪些对数凹测度$ \mu $与可测集$ K $，不等式$ \mu(K) \cdot \mu(K^\circ) \leq \mu(B_2^n)^2 $成立？
• RQ4 在凸函数Legendre变换的函数形式中，Blaschke-Santaló不等式的等号在何种情况下成立？
• RQ5 能否通过积分条件与不动点论证，有效刻画非对称凸体的Santaló点？

主要发现

• 对于任意对数凹函数$ f $及其对偶$ g $，函数形式的Blaschke-Santaló不等式成立，且积分乘积有界于$ \left( \int_{\mathbb{R}^n} \rho(|x|^2) \, dx \right)^2 $，其中$ \rho $为非增的对数凹函数。
• 等号成立当且仅当$ f $为高斯函数，或更一般地，当其对应体为椭球体。
• 对于任意无条件对数凹测度$ \mu $与无条件可测集$ K $，不等式$ \mu(K) \cdot \mu(K^\circ) \leq \mu(B_2^n)^2 $成立。
• 对于任意旋转不变的对数凹测度$ \mu $与中心对称的可测集$ K $，该不等式同样成立。
• 不等式成立的最优中心$ z_0 $被刻画为使得$ K_z $的质心位于原点的点，且当$ \rho $严格凸时该点唯一。
• Legendre变换形式的不等式成立：存在$ z \in \mathbb{R}^n $，使得$ \int \rho(\phi(x)) \, dx \cdot \int \rho(\mathcal{L}_z \phi(y)) \, dy \leq \left( \int \rho(|x|^2/2) \, dx \right)^2 $。