[论文解读] Some functional inequalities for the fractional p-sub-Laplacian

Aidyn Kassymov, Durvudkhan Suragan|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文在齐次李群上建立了分数阶次Sobolev、Hardy及Lyapunov型不等式，针对分数阶p-次Laplacian，将经典不等式推广至子黎曼几何设定。关键贡献在于通过加权范数估计与插值技术，首次给出了Dirichlet分数阶p-次Laplacian第一特征值的精确下界，其表达式以区域的内拟半径和Haar测度表示。

ABSTRACT

In this paper we study the fractional Dirichlet p-sub-Laplacian in a Haar measurable set on homogeneous Lie groups. We prove fractional Sobolev and Hardy inequalities and we also present a Lyapunov-type inequality for the fractional p-sub-Laplacian. As a consequence of the Lyapunov-type inequality we show an estimate of the first eigenvalue in a quasi-ball for the Dirichlet fractional p-sub-Laplacian.

研究动机与目标

• 将经典的分数阶Sobolev与Hardy不等式推广至具有非欧几里得结构的齐次李群的子黎曼设定中。
• 为具有Dirichlet边界条件的分数阶p-次Laplacian推导Lyapunov型不等式。
• 利用区域的几何与解析性质，对拟球中的分数阶p-次Laplacian第一特征值进行估计。
• 将加权与非加权函数不等式推广至具有齐次维数Q的非欧几何设定下的齐次群。

提出的方法

• 通过齐次李群$\mathbb{G}$上齐次拟范数$q$的奇异积分定义分数阶p-次Laplacian。
• 引入Gagliardo半范数$[u]_{s,p,q}$及关于拟范数与Haar测度的分数阶Sobolev空间$W^{s,p,q}(\Omega)$。
• 使用Hölder不等式并精心选择指数$\alpha$与$\theta$，将加权$L^p$范数与Gagliardo半范数及权函数$\omega$的$L^\theta$范数关联起来。
• 应用Sobolev嵌入定理（定理2.5）与Hardy型不等式（定理2.9），以半范数为基准控制$L^{p^*}$范数。
• 通过假设存在非平凡弱解，并利用区域的内拟半径$r_{\Omega,q}$，从下界估计$\omega$的$L^\theta$范数，从而推导出Lyapunov型不等式。
• 通过将$\omega = \lambda$代入Lyapunov不等式并在$\theta > Q/(sp)$范围内进行优化，获得第一特征值的估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典分数阶Sobolev不等式能否推广至具有非欧几里得结构的齐次李群设定？
• RQ2 在齐次群上，$p$-次Laplacian的分数阶Hardy不等式是否存在最优形式？
• RQ3 如何在有界区域中为分数阶p-次Laplacian建立Lyapunov型不等式？
• RQ4 如何利用几何与解析工具，为分数阶p-次Laplacian的第一特征值导出下界？
• RQ5 区域的内拟半径与Haar测度如何影响分数阶p-次Laplacian的第一特征值？

主要发现

• 本文证明了齐次李群上的分数阶Sobolev不等式，其常数依赖于齐次维数$Q$、$p$与$s$。
• 为$p$-次Laplacian建立了分数阶Hardy不等式，将经典结果推广至子黎曼设定。
• 推导出Lyapunov型不等式：当$\theta > Q/(sp)$时，有$\|\omega\|_{L^\theta(\Omega)} \geq \frac{C}{r_{\Omega,q}^{sp - Q/\theta}}$，其中$C$依赖于$Q$、$p$、$s$与$q$。
• Dirichlet分数阶p-次Laplacian的第一特征值$\lambda_1$满足$\lambda_1 \geq \sup_{Q/(sp)<\theta<\infty} \frac{C}{|\Omega|^{1/\theta} r_{\Omega,q}^{sp - Q/\theta}}$。
• 该估计依赖于Haar测度$|\Omega|$与内拟半径$r_{\Omega,q}$，表明更小的区域或更大的半径可导致$\lambda_1$更强的下界。
• 该结果通过同时结合区域的几何（半径）与测度论（体积）特征，显著改进了已知的特征值估计。