[论文解读] Some generalizations of second submodules

H. Ansari-Toroghy, F. Farshadifar|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Rings, Modules, and Algebras参考文献 9被引用 16

一句话总结

本文引入并研究了第二子模的两个推广——2-吸收第二子模与强2-吸收第二子模，将2-吸收理想与子模的概念扩展至第二模的语境。文章建立了基础性质，证明在特定条件下第二模与第二模是2-吸收第二模，并表明子模的强2-吸收第二根是良定义且幂等的。一个关键结果是诺特模具有有限多个极大强2-吸收第二子模，且通过Hom函子，内射模可生成强2-吸收第二模。

ABSTRACT

In this paper, we will introduce two generalizations of second submodules of a module over a commutative ring and explore some basic properties of these classes of modules.

研究动机与目标

• 通过引入2-吸收第二与强2-吸收第二子模，推广第二子模的概念。
• 探讨这些推广的第二子模在理想、子模与模自同态关系下的结构性质。
• 建立第二或第二模成为2-吸收第二模的条件，特别是当商环无非零幂等元时。
• 定义并分析子模的强2-吸收第二根及其幂等性与单调性。
• 证明在链条件下极大强2-吸收第二子模的有限性，并展示该性质在函子下的保持性。

提出的方法

• 通过涉及理想、完全不可约子模与零化子的条件引入2-吸收第二子模：若 $ abN \subseteq L $，则 $ aN \subseteq L $，$ bN \subseteq L $，或 $ ab \in \operatorname{Ann}_R(N) $。
• 使用佐恩引理证明在给定子模中存在极大强2-吸收第二子模。
• 将强2-吸收第二根 $ s.2.sec(N) $ 定义为包含在 $ N $ 中的所有此类子模的和，并证明其幂等性与单调性。
• 应用Hom函子与内射模，证明当 $ N $ 是2-吸收且 $ E $ 是内射时，$ \operatorname{Hom}_R(M/N, E) $ 是强2-吸收第二模。
• 利用强2-吸收第二根子模的降链条件，证明极大此类子模的有限性。
• 利用2-吸收与强2-吸收子模之间的对偶性，表明虽然2-吸收子模蕴含强2-吸收子模，但反之在一般情况下不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 第二子模或第二子模之和在何种条件下是2-吸收第二子模？
• RQ2 在何种条件下第二子模成为2-吸收第二子模，特别是当 $ R/\operatorname{Ann}_R(N) $ 无非零幂等元时？
• RQ3 每个强2-吸收第二子模是否都包含于某个极大强2-吸收第二子模中，且能否通过佐恩引理保证此类极大性？
• RQ4 强2-吸收第二根 $ s.2.sec(N) $ 的结构如何？其在交、和与包含关系下的行为如何？
• RQ5 满足强2-吸收第二根子模降链条件的模类是否保证仅有有限多个极大此类子模？

主要发现

• 每个第二子模或两个第二子模之和都是2-吸收第二子模。
• 若第二子模 $ N $ 满足 $ R/\operatorname{Ann}_R(N) $ 无非零幂等元，则 $ N $ 是2-吸收第二子模。
• 强2-吸收第二根 $ s.2.sec(N) $ 是良定义的，且满足 $ s.2.sec(s.2.sec(N)) = s.2.sec(N) $，即其为幂等的。
• 若 $ M $ 满足强2-吸收第二根子模的降链条件，则每个非零子模仅有有限多个极大强2-吸收第二子模。
• 每个阿廷模 $ R $-模仅有有限多个极大强2-吸收第二子模。
• 若 $ N $ 是 $ M $ 的2-吸收子模，且 $ E $ 是内射 $ R $-模满足 $ \operatorname{Hom}_R(M/N, E) \neq 0 $，则 $ \operatorname{Hom}_R(M/N, E) $ 是强2-吸收第二 $ R $-模。