[论文解读] Some Geometric Properties of the Bakry-Emery-Ricci Tensor

John Lott|ArXiv.org|Nov 4, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文将经典里奇曲率定理推广至Bakry-Émery-里奇张量，表明该广义里奇张量的非负或正下确界可对流形施加拓扑约束，例如基本群的有限性或贝蒂数的有界性。此外，本文证明在纤维测度保持不变（至多相差常数）的黎曼纤维丛下，Bakry-Émery张量是非减的，并将其与测度Gromov-Hausdorff极限及坍缩几何中的Sobolev不等式相联系。

ABSTRACT

The Bakry-Emery tensor gives an analog of the Ricci tensor for a Riemannian manifold with a smooth measure. We show that some of the topological consequences of having a positive or nonnegative Ricci tensor are also valid for the Bakry-Emery tensor. We show that the Bakry-Emery tensor is nondecreasing under a Riemannian submersion whose fiber transport preserves measures up to constants. We give some relations between the Bakry-Emery tensor and measured Gromov-Hausdorff limits.

研究动机与目标

• 将经典流形上非负或正里奇曲率的拓扑结果推广至Bakry-Émery-里奇张量的设定。
• 研究当纤维测度保持不变（至多相差常数）时，Bakry-Émery张量在黎曼纤维丛下的行为。
• 探讨在黎曼流形坍缩的背景下，Bakry-Émery张量与测度Gromov-Hausdorff极限之间的联系。
• 在曲率界下，为光滑度量测度空间推导加权Sobolev不等式。
• 提出一种在一般度量测度空间中合成定义广义里奇曲率有下界的概念，以Bakry-Émery张量为模型。

提出的方法

• 使用类Bochner恒等式分析在Bakry-Émery里奇曲率界下调和1-形式与Killing向量场的行为。
• 将Bakry-Émery-里奇张量定义为 $\widetilde{\mathrm{Ric}}_\infty = \mathrm{Ric} - \mathrm{Hess}(\ln\phi) $，推广了具有光滑测度 $\phi \, d\mathrm{vol}_M$ 的流形上的里奇曲率。
• 应用 $\widetilde{\mathrm{Ric}}_q = \mathrm{Ric} - \mathrm{Hess}(\ln\phi) - \frac{1}{q} d\ln\phi \otimes d\ln\phi$ 的概念，将曲率界与曲率-维数条件 $\mathrm{CD}(r, n+q)$ 联系起来。
• 证明当纤维传输保持测度 $\phi \, d\mathrm{vol}_F$ 不变（至多相差常数）时，Bakry-Émery张量在黎曼纤维丛下是非减的。
• 通过曲率界 $\widetilde{\mathrm{Ric}}_q \geq \frac{n+q-1}{R^2} g$ 拉回 $S^{n+q}$ 上的不等式，推导出加权Sobolev不等式。
• 利用Bishop-Gromov型体积比较与相对体积比，证明在 $\widetilde{\mathrm{Ric}}_q \geq r g$ 且直径有界时，流形在测度Gromov-Hausdorff拓扑下是预紧的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，正的Bakry-Émery-里奇张量可推出基本群的有限性？
• RQ2 当纤维测度保持不变（至多相差常数）时，Bakry-Émery-里奇张量在黎曼纤维丛下的行为如何？
• RQ3 能否为满足 $\widetilde{\mathrm{Ric}}_q \geq r g$ 的光滑度量测度空间推导出加权Sobolev不等式？
• RQ4 Bakry-Émery张量与坍缩几何中测度Gromov-Hausdorff极限之间有何关系？
• RQ5 能否使用Bakry-Émery张量作为模型，在一般度量测度空间中定义里奇曲率有下界的合成概念？

主要发现

• 若 $\widetilde{\mathrm{Ric}}_\infty > 0$，则基本群 $\pi_1(M)$ 有限。
• 若对 $q \in (0, \infty)$ 有 $\widetilde{\mathrm{Ric}}_q \geq 0$，则 $\pi_1(M)$ 有一个秩至多为 $n$ 的有限指数自由交换子群。
• 若 $\widetilde{\mathrm{Ric}}_\infty \geq 0$，则 $\mathrm{H}^1(M; \mathbb{R})$ 同构于与 $\mathrm{grad}(\phi)$ 正交的平行1-形式空间，且 $b_1(M) \leq n$；等号成立当且仅当 $M$ 为平坦环面且 $\phi$ 为常数。
• 若 $\widetilde{\mathrm{Ric}}_\infty < 0$，则 $(M,g)$ 的等距群有限。
• 若 $\widetilde{\mathrm{Ric}}_\infty \leq 0$，则任一Killing向量场均为平行且使 $\phi$ 恒为零。
• 在纤维传输保持测度的黎曼纤维丛下，$\widetilde{\mathrm{Ric}}_\infty^M \geq r g^M$ 蕴含 $\widetilde{\mathrm{Ric}}_\infty^B \geq r g^B$。