[论文解读] Some Hermite-Hadamard Type Inequalities For Harmonically $(s,m)$-convex functions in Second Sense

Imran Abbas Baloch, İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2016

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文引入了第二类调和(s,m)-凸函数，并利用Hölder不等式及超几何函数的积分表示，建立了此类函数的新Hermite-Hadamard型积分不等式。主要贡献是一个广义不等式，统一并推广了关于调和s-凸与(s,m)-凸函数的先前结果，通过设定特定的s和m值，可恢复Iscın、Chen与Wu的已知定理。

ABSTRACT

Authors introduce the concept of harmonically $(s,m)$-convex functions in second sense in \cite{II}.In this article, we establish some Hermite-Hadamard type inequalities of this class of functions.

研究动机与目标

• 引入并形式化第二类调和(s,m)-凸函数的概念。
• 将现有的Hermite-Hadamard型不等式推广至此类更广泛的函数类。
• 统一并推广关于调和s-凸与(s,m)-凸函数的先前结果。
• 利用高阶凸性推导函数值平均与积分均值之间差值的精确积分界。
• 通过设定s和m的特定值，使新结果能恢复已知定理。

提出的方法

• 通过不等式 f(xy/(tx + (1-t)y)) ≤ t^s f(y) + m(1-t)^s f(x)（其中 t ∈ [0,1]，s ∈ (0,1]，m ∈ (0,1]）定义调和(s,m)-凸函数。
• 利用一个引理，将算术平均与积分平均之间的差值表示为包含导数的加权积分。
• 应用Hölder不等式，利用|f′|^q的(s,m)-凸性来界定导数项的L1-范数。
• 将所得积分用超几何函数 _2F_1 和Beta函数 β 表示。
• 推导两个主要不等式：一个针对 q ≥ 1 使用幂平均，另一个针对 q > 1 使用共轭指数 p。
• 验证当 s=1 或 m=1 时，结果退化为已知定理（如Iscın、Chen与Wu的定理）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将调和凸性的概念推广，以同时包含第二类s-凸性与m-凸性？
• RQ2 当 |f′|^q 为调和(s,m)-凸函数时，会涌现出哪些新的Hermite-Hadamard型不等式？
• RQ3 新不等式与文献中已有结果之间有何关联并如何实现推广？
• RQ4 超几何函数与Beta函数在推导精确界中起什么作用？
• RQ5 新不等式是否能作为特例恢复先前已建立的定理？

主要发现

• 本文为第二类调和(s,m)-凸函数建立了新的Hermite-Hadamard型不等式，适用于 q ≥ 1。
• 该界涉及超几何函数 _2F_1 和Beta函数，系数 ρ₁(s,q;a,b) 与 ρ₂(s,q;a,b) 依赖于 s、q、a 和 b。
• 当 m=1 时，不等式退化为Chen与Wu的定理1.7，确认与先前工作的兼容性。
• 当 s=1 时，不等式退化为Iscın的定理1.3，表明其推广了其结果。
• 当 s=1 且 m=1 时，不等式恢复了Iscın的定理1.4，证明了对已知结果的完全统一。
• 针对 q > 1 的第二个主要不等式使用共轭指数 p，涉及 ν₁(s,q;a,b) 与 ν₂(s,q;a,b)，其通过Beta函数与超几何函数表达。