[论文解读] Some Hopf algebras of dimension $72$ without the Chevalley property

Naihong Hu, Rongchuan Xiong|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用 11

一句话总结

该论文通过将广义提升方法应用于一个具有非半单余根基的12维霍普夫代数，构造了新的72维有限维霍普夫代数，这些代数不满足Chevalley性质（即其余根基不是子代数）。论文证明了在非半单模上的尼尔森代数是无限维的，并通过生成元与关系显式描述了有限维的尼尔森代数，从而得到了不具有Chevalley性质的72维霍普夫代数。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Drinfeld double $\D$ of a $12$-dimensional Hopf algebra $\C$ over an algebraically closed field of characteristic zero whose coradical is not a subalgebra and describe its simple modules, projective covers of the simple modules and show that it is of wild representation type. Moreover, we show that the Nichols algebras associated to non-simple indecomposable modules are infinite-dimensional. In particular, for any object $V$ in $\CYD$, if $\BN(V)$ is finite-dimensional, then $V$ must be semisimple. Finally, we describe the Nichols algebras associated to partial simple modules in terms of generators and relations. As a byproduct, we obtain some Hopf algebras of dimension $72$ without the Chevalley property, that is, the coradical is not a subalgebra.

研究动机与目标

• 对不具有Chevalley性质的72维有限维霍普夫代数进行分类。
• 将提升方法扩展至余根基不是霍普夫子代数的经典情形之外。
• 确定与非半单模相关的尼尔森代数在何种条件下是有限维的。
• 显式描述部分单模上有限维尼尔森代数的结构。
• 使用广义提升方法构造具有非半单余根基的新霍普夫代数例子。

提出的方法

• 使用安德鲁斯基耶维奇与库德拉提出的广义提升方法，将余根基滤子替换为标准滤子，以处理不具有Chevalley性质的霍普夫代数。
• 构造一个12维霍普夫代数 $\mathcal{C}$ 的Drinfeld双代数 $\mathcal{D}$，其余根基不是子代数。
• 分析 $\mathcal{D}$ 的表示理论，包括其单模和投射覆盖，表明其为野生表示类型。
• 计算特定辫子向量空间 $V$ 的玻色化代数 $\mathcal{B}(V)\sharp\mathcal{C}$ 中的余乘法与关系，以确定 $\mathcal{B}(V)$ 为有限维的条件。
• 通过直接代数计算表明，某些换位子如 $xy - yx$ 在代数中为零，从而导出关系 $x^3 = 0$ 和 $x^2 - \xi^2 y^2 = 0$，暗示 $A \cong \mathrm{gr}\,A$。
• 验证所得代数同构于 $\mathcal{B}(V)\sharp\mathcal{C}$，其中 $V$ 同构于 $V_{2,2}$、$V_{2,4}$、$V_{3,1}$ 或 $V_{3,5}$，从而得到不具有Chevalley性质的72维霍普夫代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些不具有Chevalley性质的72维有限维霍普夫代数可以被系统地构造？
• RQ2 当 $V$ 不是半单时，尼尔森代数 $\mathcal{B}(V)$ 在何种条件下是有限维的？
• RQ3 广义提升方法能否应用于余根基不是子代数的霍普夫代数？
• RQ4 非半单Yetter-Drinfeld模上有限维尼尔森代数的显式表示（生成元与关系）是什么？
• RQ5 Drinfeld双代数与标准滤子方法是否能产生新的野生表示类型霍普夫代数例子？

主要发现

• 通过分析其单模与投射覆盖，证明了12维霍普夫代数 $\mathcal{C}$ 的Drinfeld双代数 $\mathcal{D}$ 属于野生表示类型。
• 对于 ${}^{\mathcal{C}}_{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$ 中的任意对象 $V$，若 $\mathcal{B}(V)$ 为有限维，则 $V$ 必须是半单的。
• 与部分单模 $V_{2,2}$、$V_{2,4}$、$V_{3,1}$ 和 $V_{3,5}$ 相关的尼尔森代数为有限维，并通过生成元与关系显式描述。
• $\mathcal{B}(V_{2,2})\sharp\mathcal{C}$、$\mathcal{B}(V_{2,4})\sharp\mathcal{C}$、$\mathcal{B}(V_{3,1})\sharp\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{B}(V_{3,5})\sharp\mathcal{C}$ 均为72维，且不具有Chevalley性质。
• 所得代数中成立的关系为 $x^3 = 0$、$xy - yx = 0$ 与 $x^2 - \xi^2 y^2 = 0$，暗示 $A \cong \mathrm{gr}\,A$，并确认了与玻色化代数的同构。
• $\bigwedge\mathds{k}_{\chi^k}\sharp\mathcal{C}$（$k \in \{1,3,5\}$）为24维，且同样不具有Chevalley性质。