[论文解读] Some identities involving degenerate r-Stirling numbers

Taekyun Kim, Dae San Kim|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2022

Advanced Mathematical Identities被引用 5

一句话总结

本文通过它们之间的逆关系，推导出关于第一类和第二类退化 r-斯特林数的新恒等式。利用生成函数和正交关系，作者建立了这些退化特殊数与在 r 处求值的完全退化伯努利、双变量 Fubini、欧拉和多伯努利多项式之间的显式联系。

ABSTRACT

Recently, authors studied the unsigned degenerate r-Stirling number of the first kind and the degenerate r-Stirling number of the second kind, respectively of which are the degenerate versions of the unsigned r-Stirling numbers of the first kind and those of the r-Stirling numbers of the second kind. The aim of this paper is to derive some identities involving such special numbers from the inverse relations for them.

研究动机与目标

• 推导涉及第一类和第二类退化 r-斯特林数的新恒等式。
• 探索退化 r-斯特林数与在 r 处求值的特殊多项式之间的联系。
• 将已知的退化斯特林数的逆关系扩展到退化 r-情形。
• 建立第一类和第二类无符号退化 r-斯特林数之间的正交性和逆关系。
• 将这些关系应用于生成完全退化伯努利、Fubini、欧拉和多伯努利多项式的恒等式。

提出的方法

• 利用退化下降阶乘和退化指数生成函数来定义退化 r-斯特林数。
• 建立第一类无符号退化 r-斯特林数与第二类退化 r-斯特林数之间的正交关系。
• 通过应用生成函数技术，从正交性推导出逆关系。
• 将这些逆关系应用于在参数 r 处求值的特殊多项式——完全退化伯努利、双变量 Fubini、欧拉和多伯努利多项式。
• 使用退化指数函数的复合逆函数，即退化对数，来操作生成函数级数。
• 利用涉及退化多对数和退化对数级数的生成函数恒等式，推导出系数层面的恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地推导出第一类和第二类退化 r-斯特林数之间的逆关系？
• RQ2 当这些逆关系应用于在 r 处求值的特殊多项式时，会涌现出哪些恒等式？
• RQ3 退化 r-斯特林数如何与完全退化伯努利、Fubini、欧拉和多伯努利多项式相关联？
• RQ4 退化生成函数和对数在统一这些特殊数系统中扮演什么角色？
• RQ5 退化 r-斯特林数的正交性能否用于推导出多项式求值的闭式恒等式？

主要发现

• 通过生成函数的正交性，建立了 ${n+r \brack k+r}_{r,\theta}$ 与 ${n+r \brace k+r}_{r,\theta}$ 之间的逆关系。
• 推导出恒等式 $\frac{n!}{2^n} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n+r \brack k+r}_{r,\theta} \mathcal{E}_{k,\theta}(r)$，将退化欧拉多项式与退化 r-斯特林数联系起来。
• 证明了关于退化多伯努利多项式的恒等式 $\frac{(-\lambda)^n (1)_{n+1,1/\lambda}}{(n+1)^p} = \sum_{k=0}^{n} {n+r \brack k+r}_{r,\theta} \beta_{k,\theta}^{(p)}(-r)$。
• 证明了退化调和数 $H_{n,\theta}^{(r)}$ 满足 $-\frac{1}{(1-t)^r} \log_{\theta}(1-t) = \sum_{n=1}^\infty H_{n,\theta}^{(r)} t^n$。
• 推导出涉及退化第二类伯努利多项式与调和数的恒等式：$\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} b_{k,\theta}(r) H_{n-k,\theta}^{(r)} = \delta_{n,1}$。
• 在 $x = -\frac{1}{2}$ 处对退化双变量 Fubini 多项式求值，得到 $\mathcal{E}_{n,\theta}(r) = \sum_{k=0}^{n} \left(-\frac{1}{2}\right)^k k! {n+r \brace k+r}_{r,\theta}$。