[论文解读] Some improvements of numerical radius inequalities of operators and operator matrices

Pintu Bhunia, Kallol Paul|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2019

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 21被引用 54

一句话总结

本文利用 [0, ∞) 上的非负连续函数，提出了希尔伯特空间算子乘积及 n×n 算子矩阵的数值半径的新上界和下界。通过引入幂-杨不等式和麦卡锡不等式，对现有不等式进行了改进和推广，并将结果扩展至对角算子矩阵的 B-数值半径，提供了比以往工作更紧的界。主要贡献是为 w_p(XY) 提供了一个尖锐的、参数化的上界，该上界改进了早期估计，并推广了 Alomari (2018) 的结果。

ABSTRACT

We obtain upper bounds for the numerical radius of a product of Hilbert space operators which improve on the existing upper bounds. We generalize the numerical radius inequalities of $n imes n$ operator matrices by using non-negative continuous functions on $[0,\infty)$. We also obtain some upper and lower bounds for the $B$-numerical radius of operator matrices, where $B$ is the diagonal operator matrix whose each diagonal entry is a positive operator $A.$ We show that these bounds generalize and improve on the existing bounds.

研究动机与目标

• 改进希尔伯特空间上有界线性算子乘积的数值半径的现有上界。
• 利用 [0, ∞) 上的非负连续函数，推广 n×n 算子矩阵的数值半径不等式。
• 为 B-数值半径建立 n×n 算子矩阵的新上界和下界，其中 B 是正算子的对角矩阵。
• 修正并扩展 Alomari (2018) 及 Abu-Omar 和 Kittaneh 的近期工作。
• 通过 A-伴随、A-范数和算子的谱性质，提供更紧、更一般的估计。

提出的方法

• 利用幂-杨不等式和 |X|Y = Y*|X| 的假设，推导出 w_p(XY) 的新上界。
• 应用麦卡锡不等式，将算子函数的 L^p 范数与它们的数值半径联系起来。
• 使用 A-数值半径 w_A(T) 和 A-自伴算子，将界推广至半希尔伯特空间。
• 通过非负连续函数 f, g 满足 f(t)g(t) = t 的变换，对估计进行精细化。
• 应用引理 4.14（关于非负矩阵的数值半径）推导 2×2 算子矩阵的界。
• 利用 A-内积的极化恒等式，推导出 w_A(Y♯A X) 的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为希尔伯特空间算子乘积的数值半径推导出比以往更紧的上界？
• RQ2 如何利用 [0, ∞) 上的连续函数推广 n×n 算子矩阵的数值半径不等式？
• RQ3 当 B 是正算子的对角矩阵时，n×n 算子矩阵的 B-数值半径的改进上界和下界是什么？
• RQ4 新界与现有界相比如何，特别是与 Alomari (2018) 和 Abu-Omar 与 Kittaneh 的结果相比？
• RQ5 A-数值半径框架能否用于推导算子乘积和矩阵的更尖锐不等式？

主要发现

• 本文建立了一个新的 w_p(XY) 上界，通过使用涉及 f(t)g(t) = t 和幂-杨不等式的参数化不等式，改进了现有估计。
• 当 α = β = 2 且 p = 1 时，该界简化为 w(XY) ≤ r(Y) w⎛⎜⎝O f²(|X|) g²(|X*|) O⎞⎟⎠，推广了早期结果。
• n×n 算子矩阵 T 的 B-数值半径满足 w_B(T) ≤ w(T')，其中 T' 是对角线元素为 w_A(T_ii)、非对角线元素为 ||T_ij||_A 的实矩阵。
• 通过用 w_C(O T_ij T_ji O) 替换非对角线元素，导出了更紧的上界 w_B(T) ≤ w(T'')，优于先前的界。
• 建立了 w_B(T) 的下界：w_B(T) ≥ 1/2 √(||T₁₂T♯A₁₂ + T♯A₂₁T₂₁||_A + 2m_A(T₂₁T₁₂))，提供了非平凡的逆估计。
• 证明了不等式 w_A(Y♯A X) ≤ 1/4 ||XX♯A + YY♯A||_A + 1/2 w_A(XY♯A)，当 A = I 时，该结果推广并加强了文献 [21, Th. 2.10] 中的结果。