[论文解读] Some Improvements on Locally Repairable Codes

Jun Zhang, Xin Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2015

Advanced Data Storage Technologies参考文献 32被引用 10

一句话总结

本文通过推导当 $ n_1 \leq n_2 $ 时局部可修复码（LRCs）的最小距离的改进上界，并提出一种实现该上界的构造方法，解决了LRCs中的一个开放问题。此外，本文提出一种基于大圈长的 $ (r+1) $-正则图的图模型，用于构造二元LRCs，其局部性为 $ r $，可用性为2，码率 $ \frac{r-1}{r+1} $，且最小距离为 $ O(\log n) $，显著优于以往二元构造中最小距离较小的局限。

ABSTRACT

The locally repairable codes (LRCs) were introduced to correct erasures efficiently in distributed storage systems. LRCs are extensively studied recently. In this paper, we first deal with the open case remained in \cite{q} and derive an improved upper bound for the minimum distances of LRCs. We also give an explicit construction for LRCs attaining this bound. Secondly, we consider the constructions of LRCs with any locality and availability which have high code rate and minimum distance as large as possible. We give a graphical model for LRCs. By using the deep results from graph theory, we construct a family of LRCs with any locality $r$ and availability $2$ with code rate $\frac{r-1}{r+1}$ and optimal minimum distance $O(\log n)$ where $n$ is the length of the code.

研究动机与目标

• 为解决[40]中 $ n_1 \leq n_2 $ 的开放情况，通过推导LRC最小距离的更紧上界。
• 构造显式LRC以实现该改进上界，尤其在 $ n_1 < n_2 $ 且 $ u+v+n_2 - n_1 \leq r $ 的情形下。
• 设计具有任意局部性 $ r $、可用性2、高码率 $ \frac{r-1}{r+1} $ 且最大最小距离的二元LRC。
• 建立基于二部图的图形模型，利用极值图论优化码参数。

提出的方法

• 通过求解线性整数规划问题，推导在 $ n_1 \leq n_2 $ 条件下LRC最小距离的新上界。
• 使用插值多项式构造最优LRC，当 $ n_1 < n_2 $ 且 $ u+v+n_2 - n_1 \leq r $ 时，扩展了先前的构造方法。
• 通过二部图建模二元LRC，其中简化图是 $ (r+1) $-正则且具有大圈长。
• 将码构造为二部图的双邻接矩阵的零空间，以保证局部性 $ r $ 和可用性2。
• 利用极值图论结果，确保简化图的圈长 $ g $ 满足 $ g = O(\log n) $，该值直接决定码的最小距离。
• 利用已知的大圈长大正则图的显式构造（例如来自[22]、[17]、[7]）实现该码设计，并提供可证明的性能保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ n_1 \leq n_2 $ 时，LRC最小距离的最紧可能上界是什么？
• RQ2 能否在 $ n_1 \leq n_2 $ 范围内，为实现该改进上界的LRC提供显式构造？
• RQ3 如何构造具有局部性 $ r $、可用性2和高码率的二元LRC，同时最大化最小距离？
• RQ4 能否建立一个图形模型，以系统化方式设计具有所需局部性和可用性的LRC？
• RQ5 对于具有可用性2和码率 $ \frac{r-1}{r+1} $ 的二元LRC，最小距离 $ O(\log n) $ 是否最优？

主要发现

• 推导出当 $ n_1 \leq n_2 $ 时LRC最小距离的改进上界，该上界严格优于经典界(1.1)和[40]中的界。
• 针对 $ n_1 < n_2 $ 且 $ u+v+n_2 - n_1 \leq r $ 的情形，提出一种基于新颖插值多项式的显式最优LRC构造，实现了新上界。
• 证明Tamo和Barg[37]的构造在 $ n_1 \leq n_2 $ 且 $ u+v > r $、$ v \neq r $ 时为最优，解决了该开放问题中的关键情形。
• 基于大圈长的 $ (r+1) $-正则图，建立了具有局部性 $ r $ 和可用性2的二元LRC的图形模型。
• 所得码的码率为 $ \frac{r-1}{r+1} $，局部性 $ r $，可用性2，最小距离 $ d = g = O(\log n) $，在该设置下为最优。
• 通过[11, 定理2.5]的确认，证明了对于具有可用性2和码率 $ \frac{r-1}{r+1} $ 的二元LRC，最小距离 $ O(\log n) $ 是最优的。