[论文解读] Some inequalities on the norms of special matrices with generalized Tribonacci and generalized Pell Padovan sequences

Zahid Raza, Muhammad Riaz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2014

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文推导了由广义Tribonacci序列和广义Pell-Padovan序列构造的循环矩阵、r-循环矩阵、半循环矩阵及Hankel矩阵的欧几里得范数与谱范数的显式公式。通过矩阵范数不等式与递推恒等式，建立了谱范数的紧致上下界，给出了包含序列项与初值的闭式表达式。

ABSTRACT

In this paper some properties of generalized tribonacci and generalized Padovan sequence are presented. Also the Euclidean norms of circulant, $r$-circulant, semi-circulant and Hankle matrices with above mentioned sequences are calculated. The upper and lower bounds of spectral norms are also obtained.

研究动机与目标

• 研究由广义Tribonacci与广义Pell-Padovan序列构造的特殊矩阵（循环、r-循环、半循环、Hankel）的结构与范数性质。
• 计算这些矩阵的欧几里得范数、谱范数及最大行/列范数的精确表达式。
• 利用矩阵范数不等式与递推恒等式，推导谱范数的非平凡上下界。
• 将先前关于Fibonacci与Lucas序列矩阵的结果推广至具有更广初始条件的高阶线性递推。

提出的方法

• 作者通过三阶线性递推关系与任意初值定义广义Tribonacci与广义Pell-Padovan序列。
• 利用这些序列作为元素，构造四类矩阵——循环矩阵、r-循环矩阵、半循环矩阵及Hankel矩阵。
• 通过矩阵对角线与行上元素平方和的求和计算欧几里得范数。
• 结合Hadamard积估计与最大行/列范数分析，利用不等式 $ \frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_E \leq \|A\|_2 \leq \|A\|_E $ 推导谱范数的界。
• 利用序列和恒等式与基于递推的简化方法进一步优化理论界。
• 通过矩阵分解与范数比较技术验证理论界，尤其利用Hadamard积的定理2.3。

实验结果

研究问题

• RQ1 由广义Tribonacci与广义Pell-Padovan序列构成的Hankel矩阵的精确欧几里得范数是什么？
• RQ2 如何利用矩阵范数不等式推导此类矩阵谱范数的紧致上下界？
• RQ3 初值与递推参数在决定r-循环矩阵与半循环矩阵范数行为中起什么作用？
• RQ4 能否为由这些序列构造的Hankel矩阵的谱范数获得闭式表达式？
• RQ5 在这些结构化矩阵中，最大行范数与列范数如何与谱范数及欧几里得范数关联？

主要发现

• 对于元素为 $ a_{ij} = Z_{i+j-1} $ 的 $ n \times n $ Hankel矩阵，其欧几里得范数为 $ \|A\|_E = \left( Z_{2n}^2 + 2Z_{2n-1}^2 + 2Z_{2n-2}^2 + Z_{2n-3}^2 + Z_{2n-4}^2 - 2Z_n^2 - 4Z_{n-1}^2 - 4Z_{n-2}^2 - 2Z_{n-3}^2 - 2Z_{n-4}^2 + S \right)^{1/2} $，其中 $ S = Z_{-2}^2 + Z_{-1}^2 + b^2 + c^2 + 2a^2 + 2(T - a^2) $。
• 谱范数满足 $ \frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_E \leq \|A\|_2 \leq \sqrt{\left(1 + Z_{n+2}^2 - Z_{n-1}^2 - Z_{n-3}^2 + T - Z_0^2 - Z_1^2\right)\left(Z_{n+2}^2 - Z_{n-1}^2 - Z_{n-3}^2 + T - Z_0^2\right)} $，该结果通过Hadamard积与行/列范数界推导得出。
• Hankel矩阵的 $ \ell^1 $ 与 $ \ell^\infty $ 范数均为 $ Z_{2n+4} - Z_{n+4} $，由广义Pell-Padovan序列的和恒等式导出。
• 最大行范数 $ r_1(A) $ 与最大列范数 $ c_1(A) $ 分别表示为 $ \sqrt{Z_{n+2}^2 - Z_{n-1}^2 - Z_{n-3}^2 + T - Z_0^2} $ 与 $ \sqrt{1 + Z_{n+2}^2 - Z_{n-1}^2 - Z_{n-3}^2 + T - Z_0^2 - Z_1^2} $。
• 这些界是紧致的，且显式依赖于初值 $ a, b, c $ 与递推参数 $ p, q, r $，特殊情形可恢复已知的Fibonacci与Pell序列结果。
• 本研究将先前关于基于Fibonacci矩阵谱范数的工作推广至具有任意初值的三阶线性递推。