[论文解读] Some infinite series involving hyperbolic functions

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于围道积分与留数微积分的方法，用于计算涉及双曲函数的无穷级数，并将其显式地用黎曼ζ函数值表示。主要贡献包括重新推导拉马努金关于ζ(2n+1)的公式，建立新的级数恒等式，并通过基于留数的求和技巧计算涉及指数函数与双曲函数的无穷乘积。

ABSTRACT

This paper develops an approach to the evaluation of infinite series involving hyperbolic functions. By using the approach, we give explicit formulas for several classes of series of hyperbolic functions in terms of Riemann zeta values. Moreover, we also establish many relations involving two or more series of hyperbolic functions. Furthermore, we obtain the Ramanujan's formula for ζ(2n + 1) and find another similar formulas. The approach is based on simple contour integral representations and residue computations. Some interesting (known or new) consequences and illustrative examples are considered.

研究动机与目标

• 开发一种系统方法，利用复分析技术评估涉及双曲函数的无穷级数。
• 将此类级数表示为黎曼ζ函数值的形式，扩展已知结果。
• 重新推导拉马努金关于ζ(2n+1)的公式，并发现一个类似的新型恒等式。
• 建立双曲级数、调和数与特殊无穷乘积之间的关系。
• 利用留数理论计算某些涉及指数函数与双曲函数的无穷乘积的精确值。

提出的方法

• 利用围道积分与留数定理，通过将其转化为有限留数计算来评估无穷级数。
• 应用引理1.1关于核函数与衰减为O(s⁻²)的有理函数，推导求和恒等式。
• 采用涉及双曲与三角函数的二次乘积的部分分式展开作为关键工具。
• 利用伯努利数与欧拉数的生成函数，将级数与ζ函数值联系起来。
• 在乘积求值中应用黎曼ζ函数的函数方程及θ函数的模性质。
• 通过将无穷乘积与涉及coth与tanh函数的级数关联，推导出其闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地利用复分析技术评估双曲函数的无穷级数？
• RQ2 此类级数与奇数点处的黎曼ζ函数之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否通过留数微积分重新推导并扩展拉马努金关于ζ(2n+1)的公式？
• RQ4 涉及指数与双曲项的特定无穷乘积的闭式求值是什么？
• RQ5 调和数如何与无穷级数中的双曲函数相互作用？

主要发现

• 本文通过围道积分与留数计算，推导出拉马努金关于ζ(2n+1)的公式。
• 建立了与拉马努金公式类似的新型公式，扩展了关于奇数ζ值的已知结果。
• 获得了如下级数的显式求值：∑₁^∞ 1/(n sinh(πn)) = π/12 − (1/4)log 2。
• 通过乘积展开证明了恒等式 ∑₁^∞ (coth(πn)/n)(−1)^(n−1) = (1/4)log 2 + π/6。
• 以闭式表达无穷乘积 ∏ₙ₌₁^∞ (1 + e^−πn) = 2^(-1/8) e^(π/24)。
• 利用基于留数的恒等式，计算出 ∏ₙ₌₁^∞ (1 − e^−πn) = π^(1/4) e^(π/24) / (2^(3/8) Γ(3/4))。