[论文解读] Some invariance properties of cyclic cohomology with coefficients

Ilya Shapiro|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文引入了在张量范畴中取值的循环上同调的导出定义，增强了如莫里塔（Morita）和2-莫里塔（2-Morita）不变性等不变性质。关键贡献是定理4.31，该定理由2-函子框架建立了一般形式的Shapiro型引理，适用于不同张量范畴之间的循环上同调，解决了先前定义在非半单情形下的局限性。

ABSTRACT

In this paper, we further explore the conceptual approach to cyclic cohomology with coefficients. In particular we give a derived version of the definition with better invariance properties. We show that the new definition agrees with the old under certain conditions and we prove, for the new definition, both its Morita invariance and its $2$-Morita invariance, under suitable interpretations of these terms. More generally, we prove a version of Shapiro's lemma for cyclic cohomology with coefficients.

研究动机与目标

• 开发一种在张量范畴中取值的导出、同调稳健的循环上同调定义，以改进其不变性质。
• 在适当的范畴解释下，为新定义建立莫里塔不变性和2-莫里塔不变性。
• 通过在模2-范畴之间的2-函子语境下，将Shapiro引理推广至带系数的循环上同调。
• 阐明反模（contramodules）和对称2-反迹（symmetric 2-contratraces）在框架中的作用，特别是在非半单霍普夫代数设定下。
• 通过范畴和高阶范畴结构，统一并扩展先前关于霍普夫-循环上同调的方法，包括A型和B型理论。

提出的方法

• 本文采用一种与[HKS]不同的新方法，在阿贝尔张量范畴中构造预余循环对象，从而实现导出同调性质。
• 引入了循环上同调的导出版本，通过用预余循环对象替代余循环对象，保持在2-莫里塔等价下的不变性。
• 该方法依赖于2-反迹的范畴论概念，其自同构通过$Χ_{\mathcal{C}}(\mathcal{C}^{op})$中Hom-对象上的Yoneda论证诱导得出。
• 以单个张量范畴$\mathcal{C}$中的左$A$-模类别为主要设定，对偶性和模范畴结构在构造中起核心作用。
• 框架中引入了双闭范畴，并将$\mathcal{Z}'_{\mathcal{C}}(\mathcal{C}^{op})$定义为对称2-反迹的范畴，推广了SAYD反模的概念。
• 关键技术是利用右伴随函子在范畴之间转移结构，特别是通过$^*F$，其中$F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$为张量函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何重新定义带系数的循环上同调，以在莫里塔和2-莫里塔等价下获得更好的不变性？
• RQ2 新导出定义的循环上同调在何种意义上与经典定义一致，又在何处存在差异？
• RQ3 能否通过2-函子性在张量范畴中带系数的循环上同调语境下，形式化广义的Shapiro引理？
• RQ4 在霍普夫-循环上同调语境中，反模和对称2-反迹的范畴角色是什么？
• RQ5 在一般张量范畴中，若不存在自然的$S^2$-自同构等价，这对SAYD模和反模的定义有何影响？

主要发现

• 在具有投射单位的张量范畴中，带系数的导出循环上同调定义与经典定义一致，如命题4.7所示。
• 新定义在$\mathcal{C}$中的单位结合结合代数上表现出莫里塔不变性，如命题4.10所证明。
• 本文证明了广义意义下的2-莫里塔不变性：若两个张量范畴$\mathcal{C}$和$\mathcal{D}$通过其模2-范畴之间的2-函子相关联，则在适当条件下循环上同调保持不变。
• 定理4.31建立了循环上同调的一般伴随型结果，即使$\mathcal{C}$和$\mathcal{D}$不满足2-莫里塔等价，也通过一个可接受双模$\mathcal{N}$成立。
• 在$\mathcal{C} = {}_H\mathcal{M}$的情形下，新定义恢复了带系数的霍普夫-循环上同调；对于非半单霍普夫代数，其与旧定义不同，如评注4.23所指出。
• $\mathcal{Z}'_{\mathcal{C}}(\mathcal{C}^{op})$被识别为对称2-反迹的范畴，这在缺乏自然$S^2$-自同构等价时，推广了SAYD反模的概念。