[论文解读] Some kinds of $(\overline{\in},\overline{\in}\vee \overline{q})$-fuzzy filters of $BL$-algebras

Xueling Ma, Jianming Zhan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2009

Advanced Algebra and Logic参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文引入并研究了 $BL$-代数中的 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊滤子，重点关注蕴含性、正蕴含性和美妙型滤子。关键贡献在于证明了一个模糊集是 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊蕴含性滤子当且仅当它同时是 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊正蕴含性滤子和 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊美妙滤子，从而建立了这些广义模糊滤子类型之间的基本等价关系。

ABSTRACT

The concepts of $(\overline{\in},\overline{\in} \vee \overline{q})$-fuzzy (implicative, positive implicative and fantastic) filters of $BL$-algebras are introduced and some related properties are investigated. Some characterizations of these generalized fuzzy filters are derived. In particular, we describe the relationships among ordinary fuzzy (implicative, positive implicative and fantastic) filters, $(\in,\ivq)$-fuzzy (implicative, positive implicative and fantastic) filters and $(\overline{\in},\overline{\in} \vee \overline{q})$-fuzzy (implicative, positive implicative and fantastic) filters of $BL$-algebras. Finally, we prove that a fuzzy set $F$ on a $BL$-algebra $L$ is an $(\overline{\in},\overline{\in} \vee \overline{q})$-fuzzy implicative filter of $L$ if and only if it is both $(\overline{\in},\overline{\in} \vee \overline{q})$-fuzzy positive implicative filter and an $(\overline{\in},\overline{\in} \vee \overline{q})$-fuzzy fantastic filter.

研究动机与目标

• 通过引入 \/(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊滤子概念，扩展 $BL$-代数中模糊滤子的理论。
• 研究 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊蕴含性、正蕴含性和美妙滤子的性质与刻画。
• 厘清普通模糊滤子、$(\in,\in\!\vee q)$-模糊滤子与 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊滤子在 $BL$-代数中的关系。
• 建立一个模糊集成为 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊蕴含性滤子的充分必要条件，该条件基于其正蕴含性和美妙滤子性质。

提出的方法

• 本文使用模糊点与模糊集之间‘属于’（$\overline{\in}$）和‘准重合’（$\overline{q}$）的概念，定义了 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊滤子。
• 采用水平截集 $U(F;t) = \{x \in L \mid F(x) \geq t\}$（其中 $t \in (0.5,1]$）将模糊滤子性质与经典滤子性质联系起来。
• 利用 $BL$-代数中经典蕴含性、正蕴含性和美妙滤子的已知刻画，推导出相应模糊版本的条件。
• 将先前工作中提出的 $(\in,\in\!\vee q)$-模糊滤子概念作为参考点，与新的 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊框架进行比较与对照。
• 证明策略依赖于：水平截集 $U(F;t)$ 是蕴含性滤子当且仅当它同时是正蕴含性滤子和美妙滤子，利用了 $BL$-代数中已知的等价关系。
• 主要技术结果通过基于 $BL$-代数代数公理和各类滤子类型定义的逻辑等价链与蕴含链推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $BL$-代数中，$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊滤子如何与普通模糊滤子和 $(\in,\in\!\vee q)$-模糊滤子相关联？
• RQ2 一个模糊集在 $BL$-代数中成为 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊蕴含性滤子的必要且充分条件是什么？
• RQ3 在 $BL$-代数中，$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊正蕴含性滤子类与 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊美妙滤子类之间是否存在结构等价？
• RQ4 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊蕴含性滤子类是否能通过另外两类滤子的合取完全刻画？

主要发现

• 在 $BL$-代数 $L$ 上，一个模糊集 $F$ 是 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊蕴含性滤子当且仅当它同时是 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊正蕴含性滤子和 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊美妙滤子。
• 对所有 $t \in (0.5,1]$，$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊蕴含性滤子 $F$ 的水平截集 $U(F;t)$ 是 $L$ 的一个蕴含性滤子，因此也是正蕴含性滤子和美妙滤子。
• $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊蕴含性滤子类严格包含于 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊正蕴含性滤子类和 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊美妙滤子类之中。
• 本文建立了一个模糊滤子类型的层次结构，表明 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊蕴含性滤子是最具限制性的，必须同时满足正蕴含性和美妙性条件。
• 通过引入 $\overline{\in}, \overline{q}$-关系的新且更精细的框架，本研究推广了关于 $(\in,\in\!\vee q)$-模糊滤子的先前成果。
• 等价性结果为 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-模糊蕴含性滤子提供了新的代数刻画，通过将其验证简化为检查两个更简单的条件，从而实现简化。