[论文解读] Some $L_{p}$-estimates for elliptic and parabolic operators with measurable coefficients

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文建立了具有可测系数的二阶椭圆与抛物型方程的$L_p$-估计，证明了二阶导数的霍尔德型界以及$L_p$空间中预解算子的估计。该文为完全非线性方程中所用的关键结果提供了严格证明，依赖于克里洛夫-萨冯诺夫理论与概率方法，并应用于VMO系数与$L_q$-漂移条件。

ABSTRACT

We consider linear elliptic and parabolic equations with measurable coefficients and prove two types of $L_{p}$-estimates for their solutions, which were recently used in the theory of fully nonlinear elliptic and parabolic second order equations in \cite{DKL}. The first type is an estimate of the $γ$th norm of the second-order derivatives, where $γ\in(0,1)$, and the second type deals with estimates of the resolvent operators in $L_{p}$ when the first-order coefficients are summable to an appropriate power.

研究动机与目标

• 建立具有可测系数的二阶椭圆与抛物型算子的$L_p$-估计，尤其在完全非线性方程的背景下。
• 为$|D^2u|^\gamma$的$L_p$-估计提供完整证明，其中$\gamma \in (0,1)$，填补了先前文献中该结果被引用但未证明的空白。
• 推导具有$L_q$-漂移系数的算子在$L_p$中的统一预解估计，扩展了完全非线性方程理论中所用的结果。
• 推广并严格证明涉及预解算子$R_\mu = (\mu - L)^{-1}$的估计，其界对大$\mu$值独立于$\mu$。
• 提出新的非平凡估计，如引理1.6及其概率对应定理3.1，支持主要结果。

提出的方法

• 使用克里洛夫-萨冯诺夫哈纳克不等式及其在[8]中的版本（源自[6]），以控制解的振幅与可积性。
• 应用最大值原理与亚历山大洛夫估计，控制预解算子$R_\mu$的$L_d$-范数。
• 采用光滑化技术与$\lambda$-凸函数$\psi_\lambda$，构造满足$L\psi^\varepsilon_\lambda - \mu\psi^\varepsilon_\lambda \leq -f^\varepsilon + (|b|\sqrt{\lambda} + \lambda\,{\rm tr}\,a - \mu)\psi^\varepsilon_\lambda$的下解，从而实现范数估计。
• 利用马尔钦基维奇插值定理，将$L_p$-估计从$p = d$推广至一般$p \geq d$，确保一致有界性。
• 应用法图引理与逼近论证，从光滑数据过渡到一般$L_p$数据，同时保持范数不等式。
• 依赖于概率对应结果，如占用测度与基本解，推导预解算子的$L_1$-范数估计，表明$\mu$-依赖性中的二分行为是必要的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有可测系数的椭圆与抛物型算子，严格建立$|D^2u|^\gamma$的$L_p$-估计，其中$\gamma \in (0,1)$，特别是在$b$与$c$有界时？
• RQ2 漂移系数$b$需满足何种条件，才能使预解估计$\|R_\mu g\|_{L_p} \leq N\|g\|_{L_p}$对大$\mu$值一致成立，且与$\mu$无关？
• RQ3 当$b \in L_q$且$q \leq p$时，如何统一有界地控制预解算子$R_\mu = (\mu - L)^{-1}$的$L_p$-范数，使其对$\mu$一致有界？
• RQ4 预解估计中常数$N$对参数$\delta$、$K$、$d$与$\mu$的精确依赖关系为何？
• RQ5 能否证明预解范数中$\mu$-依赖性的二分性是不可避免的？其对抛物型方程可解性意味着什么？

主要发现

• 对任意$L \in \mathfrak{L}_{\delta,K}$，存在仅依赖于$\delta$、$K$与$d$的常数$\gamma \in (0,1]$与$N$，使得$$\int_{C_{1,1}(1,0)} |D^2u|^\gamma \,dxdt \leq N\left(\int_{C_{2,1}} |Lu|^{d+1} \,dxdt\right)^{\gamma/(d+1)} + N\sup_{\partial'C_{2,1}} |u|^\gamma$$成立，从而证明了二阶导数的霍尔德正则性。
• 当$p = d$时，预解范数满足$$\|R_\mu\|_{L_d \to L_d} \leq N\lambda^{-1}$$对$\mu \geq K\lambda + \mu_\theta\lambda^{1/2}$成立，其中$\theta$满足$N'\theta \leq 1/2$，确保一致有界性。
• 对所有非负$f \in L_d$，有估计$$\|R_\mu f\|_{L_d} \leq N\lambda^{-1}\|f\|_{L_d}$$，通过构造下解与最大值原理得出。
• 对一般$p \geq d$，马尔钦基维奇插值定理将$L_p$-界推广至$$\|R_\mu g\|_{L_p} \leq N\|g\|_{L_p}$$，其中$N$对大$\mu$值独立于$\mu$，前提是$b \in L_q$且$q \leq p$。
• 以原点为奇点的基本解的$L_1$-范数为$$1/\nu^2 = [\sqrt{M^2 + 4\mu} + M]^2 / (4\mu^2)$$，表明若无二分依赖性，预解范数无法对$\mu$一致有界。
• 预解范数中$\mu$-依赖性的二分性是不可避免的，且与推论5.5中的形式一致，证实了估计的精确性。