[论文解读] Some local-global non-vanishing results of theta lifts for symplectic-orthogonal dual pairs

Shuichiro Takeda|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 3

一句话总结

该论文通过用局部表示的有界性条件替代罗伯茨工作中的温和性条件，建立了辛-正交对偶对中theta提升的局部-整体非零结果。关键贡献在于：以局部非零和不完全标准L函数在s=1处的非零性来刻画全局theta提升的非零性，该结果应用于GSp(4)自守表示的函子性与非退化性，且无需假设基域为全实域。

ABSTRACT

Following the approach of B. Roberts, we characterize the non-vanishing of global theta lifts for symplectic-orthogonal dual pairs in terms of its local counterpart. In particular, we replace the temperedness assumption present in Robert's work by a certain weaker assumption, and apply our results to small rank similitude groups. Among our applications is a certain instance of Langlands functorial transfer of a (non-generic) cuspidal automorphic representation of $GSp(4)$ to GL(4).

研究动机与目标

• 通过弱化温和性假设，推广罗伯茨在辛-正交对偶对中theta提升的局部-整体非零结果。
• 以局部非零性和不完全标准L函数在s=1处的非零性来刻画全局theta提升的非零性。
• 将结果应用于小秩相似群，特别是建立GSp(4)到GL(4)的朗兰兹函子性转移，适用于非退化 cuspidal 表示。
• 提供一种替代证明，证明GSp(4)退化表示的重数一性定理，消除了先前工作中对全实基域的假设。

提出的方法

• 使用局部表示有界性的概念，该概念通过标准模的朗兰兹分类中的指数来定义。
• 应用罗伯茨的全局theta提升框架，但将其中的温和性假设替换为有界性条件，并证明在该更弱假设下论证依然成立。
• 利用标准模与朗兰兹商的理论，分析表示的局部指数，并将其与L函数行为关联。
• 通过局部非零性和s=1处L函数的非零性，分析辛到正交及正交到辛的对偶对的theta提升。
• 将结果应用于相似群，特别是dim V = 4时的GO(V)，研究从GO(V)到GSp(4)的theta提升。
• 利用theta提升的塔性质及Gan-Gross-Prasad的主要定理，推导出全局非退化性与函子性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 罗伯茨在theta提升的局部-整体非零定理中，能否在保持全局非零结论的前提下弱化温和性假设？
• RQ2 在何种条件下，不完全标准L函数L^S(s,σ)在s=1处的非零性可推出全局theta提升Θ_n(V_σ)到Sp(2n,A)的非零性？
• RQ3 局部表示的有界性条件是否足以保证辛-正交对偶对中theta提升的全局非零性？
• RQ4 能否在不假设基域为全实域的前提下，建立GSp(4)到GL(4)的theta提升的全局非零性？
• RQ5 在不假设基域为全实域的前提下，GSp(4)退化 cuspidal 表示的重数一性定理是否仍然成立？

主要发现

• 若在所有位置v处σ_v在Sp(2n,F_v)上有非零theta提升，且L^S(s,σ)在s=1处不为零，则全局theta提升Θ_n(V_σ)到Sp(2n,A)不为零。
• 若L^S(s,σ)在s=1处有极点，则当n ≥ 1时，全局theta提升Θ_{n-1}(V_σ)到Sp(2n-2,A)不为零。
• 若在所有位置v处π_v在O(V_r,F_v)上有非零theta提升，且L^S(s,π)在s=1处不为零，则全局theta提升Θ_{V_r}(V_π)到O(V_r,A)不为零。
• 若L^S(s,π,χ)在s=1处有极点，则当r ≥ 1时，全局theta提升Θ_{V_{r-1}}(V_π)到O(V_{r-1},A)不为零。
• 定理1.5（非CAP GSp(4)表示的非退化性）的证明现已完成，且无需假设基域为全实域，从而消除了先前工作中的关键限制。
• GSp(4)退化 cuspidal 表示的重数一性定理现无需全实基域假设即可成立，因为先前对这一假设的依赖已被消除。