[论文解读] Some measure-preserving point transformations on the Wiener space and their ergodicity

Ali Süleyman Üstünel, Moshe Zakai|ArXiv.org|Feb 24, 2000

advanced mathematical theories参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文研究了在维纳空间上由取值于坎姆登-马汀空间的多重伊藤-维纳积分的有限和所诱导的保测度变换。证明了此类变换保持维纳测度当且仅当扰动位于第一维纳混沌中且作用为旋转。本文进一步通过坎姆登-马汀空间上的酉算子刻画了这些旋转的遍历性和混合性，并为变换 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ 提供了遍历性的必要且充分条件，其中 $ \gamma(t) $ 是 $[0,1]$ 上的非随机酉矩阵值函数。

ABSTRACT

Suppose that T is a map of the Wiener space into itself, of the following type: T=I+u where u takes its values in the Cameron-Martin space H. Assume also that u is a finite sum of H-valued multiple Ito-Wiener integrals. In this work we prove that if T preserves the Wiener measure, then necessarily u is in the first Wiener chaos and the transformation corresponding to it is a rotation in the sense of [9]. Afterwards the ergodicity and mixing of such transformations, which are second quantizations of the unitary operators on the Cameron-Martin space, are characterized. Finally, the ergocity of the transformation dY_t=gamma(t)dW_t, 0 \le t \le 1 where W is n-dimensional Wiener and gamma is non random is characterized

研究动机与目标

• 刻画维纳空间上形如 $ T = I + u $ 的点变换 $ T $ 的类，使得其保持维纳测度，其中 $ u $ 是取值于 $ H $-空间的有限个 $ H $-值多重伊藤-维纳积分的和。
• 确定此类变换在何时是遍历或混合的，特别关注由坎姆登-马汀空间上酉算子的二次量化所诱导的变换。
• 为变换 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ 提供遍历性的必要且充分条件，其中 $ \gamma(t) $ 是 $[0,1]$ 上的非随机酉矩阵值函数。
• 通过谱理论和泛函分析技术，将马鲁亚马在高斯过程上的有限维结果推广至无限维维纳空间。

提出的方法

• 作者利用多重伊藤-维纳积分的结构及其在维纳混沌分解中的表示，分析变换 $ T = I + u $ 的保测度性质。
• 他们证明，为使 $ T $ 保持维纳测度，$ u $ 必须位于第一维纳混沌中，这意味着 $ T $ 以 [9] 中的意义作为旋转作用。
• 通过坎姆登-马汀空间上酉算子的谱理论，特别是谱测度 $ \theta \to d(\Pi_\theta h, h)_H $，刻画了此类旋转的遍历性和混合性。
• 对于 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ 的情形，通过 $ \gamma(t) $ 的谱分解进行分析，其特征值为 $ e^{i\psi_j(t)} $，并考察累积分布函数 $ \int_0^1 u(\theta - \psi_j(t))\, dt $ 关于 $ \theta $ 的连续性。
• 证明依赖于通过谱测度在 $ \theta = 0 $ 处消失来刻画遍历性，并利用 $ T $ 遍历当且仅当 $ (R^n h, h)_H \to 0 $ 当 $ n \to \infty $ 的事实。
• 作者将马鲁亚马对高斯过程遍历性的刻画应用于无限维情形，利用与 $ \delta R^n h $ 相关的谱测度的连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，形如 $ T = I + u $ 的变换（其中 $ u $ 是取值于坎姆登-马汀空间的多重伊藤-维纳积分的有限和）保持维纳测度？
• RQ2 由坎姆登-马汀空间上酉算子的二次量化所诱导的维纳空间上的旋转在何时是遍历或混合的？
• RQ3 变换 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ 的遍历性的必要且充分条件是什么，其中 $ \gamma(t) $ 是 $[0,1]$ 上的非随机酉矩阵值函数？
• RQ4 如何通过相关酉算子的谱性质来刻画无限维高斯过程的遍历性？

主要发现

• 维纳空间上形如 $ T = I + u $ 的变换保持维纳测度当且仅当 $ u $ 位于第一维纳混沌中，此时 $ T $ 以 [9] 中的意义作为旋转作用。
• 由坎姆登-马汀空间上酉算子 $ R $ 诱导的旋转的遍历性等价于对所有 $ h \in H $，谱测度 $ \theta \to d(\Pi_\theta h, h)_H $ 的连续性。
• 变换 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ 遍历当且仅当对所有 $ j = 1, \dots, n $，函数 $ \theta \mapsto \int_0^1 u(\theta - \psi_j(t))\, dt $ 在 $ \theta \in [0, 2\pi] $ 上连续。
• 若 $ n $ 为奇数，则 $ \gamma(t) $ 必须在正测度集上至少有一个特征值为 $ 1 $ 或 $ -1 $，这将导致累积分布函数不连续，从而导致非遍历性。
• 变换 $ T $ 混合当且仅当对所有 $ f \in L^2_0(\mu) $，有 $ a_n(f) = \mathbb{E}[(O^n f) \cdot f] \to 0 $ 当 $ n \to \infty $，这等价于相关酉算子无非平凡特征函数。
• 结果通过谱理论和泛函分析工具，将马鲁亚马对有限维高斯过程遍历性的刻画推广至无限维维纳空间情形。