[论文解读] Some multi-valued solutions to Monge-Ampere equations

Luis Caffarelli, Yanyan Li|ArXiv.org|May 6, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文通过利用覆盖空间和粘性理论，在高维空间中构造了Monge-Ampère方程的多值粘性解。它在具有奇异集的区域的k重覆盖上建立了有界、局部凸解的存在性，将经典结果推广至多值情形，并精确刻画了解的渐近行为与边界行为。

ABSTRACT

We construct several types of multi-valued solutions to the Monge-Ampere equation in higher dimensions.

研究动机与目标

• 将Monge-Ampère方程的理论推广至高维空间中的多值解。
• 通过覆盖空间构造方法分析解在奇异集附近的性质。
• 在k重覆盖上建立有界、局部凸粘性解的存在性与正则性。
• 刻画解的边界行为与渐近行为与调和控制函数之间的关系。
• 通过粘性方法与Perron型方法，将经典可解性结果推广至多值情形。

提出的方法

• 在 $D \setminus \Gamma$ 上构造一个k重覆盖空间 $M_k$，其中 $\Gamma$ 是余维为2的奇异集。
• 使用Perron方法在 $M_k$ 上求解拉普拉斯方程，边界数据为 $\varphi_i$，定义在 $\partial D$ 的k个副本上。
• 在 $M_k$ 上引入一个调和控制函数 $h$，以控制解在 $\Gamma$ 附近的性质。
• 将粘性理论应用于 $M_k$ 上的Monge-Ampère方程 $\det(D^2u) = f$，其中 $f$ 远离零。
• 利用二次多项式与群作用构造下解 $\underline{u}$ 与上解 $\overline{u}$。
• 将解 $u$ 定义为所有满足边界条件与奇异集条件的下解的逐点上确界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在高维空间的多层覆盖空间上构造有界、局部凸的Monge-Ampère方程粘性解？
• RQ2 在定义域中余维为2的奇异集 $\Gamma$ 附近，解的行为如何？
• RQ3 调和控制函数在控制多值解的渐近行为与边界行为中起什么作用？
• RQ4 能否通过覆盖空间技术将粘性解理论推广至具有奇点的非单连通区域？
• RQ5 覆盖空间上的群作用与对称性如何影响解的结构？

主要发现

• 在 $M_k$ 上，Monge-Ampère方程 $\det(D^2u) = f$ 至少存在一个有界、局部凸的粘性解 $u$，满足 $u \leq h$，其中 $h$ 为调和控制函数。
• 在 $\Gamma$ 附近，解满足 $|u(x,m) - \bar{h}(\bar{x})| \leq C|x - \bar{x}|^\alpha$，其中 $0 < \alpha < 1$，确保了解在奇异集处的Hölder连续性。
• 解 $u$ 关于群作用满足不变性 $u(x,g) = u(T(g)x, \bar{g})$，反映了覆盖空间的拓扑结构。
• 渐近行为满足 $\limsup_{|x|\to\infty} |x| \cdot |u(x,g) - Q(T(g)x)| < \infty$ 对所有 $g \in G$ 成立，表明解具有受控增长。
• 解 $u$ 在 $\partial D \times \{i\}$ 上精确达到边界数据 $\varphi_i$，且在粘性意义下满足最大值原理。
• 最大解 $u^*$ 被表征为所有满足边界条件与奇异集条件的粘性下解的上确界。