[论文解读] Some natural subspaces and quotient spaces of $L^1$

Gilles Godefroy, Nicolás Lerner|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文证明了在原点处为零的Lipschitz函数空间 $\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$ 同构于商空间 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$ 的对偶空间，其中 $N$ 是散度为零的向量场子空间。尽管该商空间是弱*序列完备的，但 $N$ 并非‘位置良好’——其单位球在局部测度收敛拓扑下不闭合，凸显了 $L^1$ 子空间结构中的一个关键障碍。

ABSTRACT

We show that the space $ ext{Lip}_0(\mathbb R^n)$ is the dual space of $L^{1}({\mathbb R}^{n}; {\mathbb R}^{n})/N$ where $N$ is the subspace of $L^{1}({\mathbb R}^{n}; {\mathbb R}^{n})$ consisting of vector fields whose divergence vanishes. We prove that although the quotient space $L^{1}({\mathbb R}^{n}; {\mathbb R}^{n})/N$ is weakly sequentially complete, the subspace $N$ is not nicely placed - in other words, its unit ball is not closed for the topology $τ_m$ of local convergence in measure. We prove that if $Ω$ is a bounded open star-shaped subset of $\mathbb {R}^n$ and $X$ is a closed subspace of $L^1(Ω)$ consisting of continuous functions, then the unit ball of $X$ is compact for the compact-open topology on $Ω$. It follows in particular that such spaces $X$, when they have Grothendieck's approximation property, have unconditional finite-dimensional decompositions and are isomorphic to weak*-closed subspaces of $l^1$. Numerous examples are provided where such results apply.

研究动机与目标

• 将 $\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$ 的预对偶表征为 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ 的商空间。
• 研究 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ 中散度为零的向量场子空间 $N$ 是否‘位置良好’，即其单位球在局部测度收敛拓扑 $\tau_m$ 下是否闭合。
• 建立在有界星形区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 上，由连续函数构成的闭子空间 $X \subset L^1(\Omega)$ 的结构性质，特别是当其在缩放算子下不变时。
• 探讨此类子空间具有格罗滕迪克逼近性质时的后果，包括其同构于 $\ell^1$ 的弱*闭子空间。

提出的方法

• 利用德拉姆关于闭电流的定理及分布意义下的分部积分，将 $\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$ 表示为 $L^\infty(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ 的闭子空间，并识别其零化子为散度为零的向量场空间 $N$。
• 应用 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ 与 $L^\infty(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ 之间的对偶性，证明 $\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$ 同构于 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$ 的对偶空间。
• 在星形区域上使用缩放算子 $T_\rho$ 分析在缩放下不变的子空间 $X \subset L^1(\Omega)$ 的结构。
• 利用局部测度收敛拓扑 $\tau_m$ 研究子空间中单位球的紧致性与闭包性，特别是证明在星形区域 $\Omega$ 上，齐次连续子空间 $X$ 的单位球是 $\tau_m$-紧致的。
• 应用格罗滕迪克逼近性质及同伦性蕴含无条件性的原理，推导出此类空间 $X$ 允许无条件有限维分解。
• 借助 $p > 1$ 时 $L^p$-空间的已知结果，对比 $L^1$ 情形，强调在非自反情形下 $\tau_m$-拓扑的必要性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ 中，散度为零的向量场子空间 $N$ 是否位置良好，即其单位球在局部测度收敛拓扑 $\tau_m$ 下是否闭合？
• RQ2 若商空间 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$ 是弱*序列完备的，是否意味着 $N$ 位置良好？若不然，其结构后果为何？
• RQ3 对于有界开星形区域 $\Omega$ 上的闭子空间 $X \subset L^1(\Omega)$，若其由连续函数构成且在缩放算子 $T_\rho$ 下不变，则 $X$ 的单位球是否为 $\tau_m$-紧致？
• RQ4 若此类空间 $X$ 同时具有格罗滕迪克逼近性质，则其是否同构于 $\ell^1$ 的弱*闭子空间？
• RQ5 能否将 $X$ 上单位球的缩放算子的 $\tau_m$-连续性弱化，以保证单位球的 $\tau_m$-紧致性，还是必须保持完全连续？

主要发现

• 空间 $\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$ 同构于 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$ 的对偶空间，其中 $N$ 是散度为零的向量场的闭子空间。
• 尽管商空间 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$ 是弱*序列完备的，但子空间 $N$ 并非位置良好——其单位球在局部测度收敛拓扑 $\tau_m$ 下不闭合。
• 对于任意有界开星形区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$，在缩放算子下不变的连续函数闭子空间 $X \subset L^1(\Omega)$ 的单位球是 $\tau_m$-紧致的。
• 若此类空间 $X$ 同时具有格罗滕迪克逼近性质，则 $X$ 同构于 $\ell^1$ 的弱*闭子空间，因此允许无条件有限维分解。
• 众多经典空间——如 Müntz 空间 $M_1(\Lambda)$、$\Omega$ 上的双调和函数空间，以及环面上的某些 Hardy 空间——满足主要定理的条件，因而继承了 $\ell^1$-相关空间的结构性质。
• $p > 1$ 时的 $L^p$-版本更简单：在类似不变性与连续性假设下，此类子空间在 Banach-Mazur 距离下可任意接近 $\ell^p$ 的子空间，无需依赖逼近性质。