[论文解读] Some necessary and some sufficient conditions for the compactness of the embedding of weighted Sobolev spaces

Francesca Antoci|ArXiv.org|Jan 30, 2003

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 13被引用 23

一句话总结

本文建立了加权Sobolev空间 $W^{1,p}(\bar{\Omega},w) \hookrightarrow L^p(\bar{\Omega},w)$ 的紧嵌入的必要且充分条件，推广了Adams的经典结果。通过引入基于权重 $w$ 的次图像的几何准则，表明若在次图像 $\Omega_w$ 上的嵌入是紧的，则原始嵌入亦为紧。关键贡献在于提出了一种适用于一般权重（包括不在 $A_p$ 类中的权重）的实用且几何化的充分条件。

ABSTRACT

We give some necessary conditions and sufficient conditions for the compactness of the embedding of Sobolev spaces $W^{1,p}(Ω,w) o L^p(Ω,w),$ where $w$ is some weight on a domain $Ω\subset \Real^n$.

研究动机与目标

• 为加权Sobolev空间 $W^{1,p}(\Omega,w) \hookrightarrow L^p(\Omega,w)$ 提供简单、可验证的必要且充分条件。
• 解决在涉及一般密度函数的应用中（如非线性主成分分析）缺乏紧性可访问判据的问题。
• 通过几何与流方法，将Adams关于紧性的经典结果推广至加权情形。
• 展示基于次图像嵌入的充分条件在非 $A_p$ 类权重（如对数与指数权重）中的适用性。

提出的方法

• 通过加权迹与容量估计，将Adams关于紧性的必要条件推广至加权 $W^{1,p}$ 到 $L^p$ 嵌入情形。
• 提出一种几何嵌入准则：若次图像 $\Omega_w = \{(x,y) \mid x \in \Omega, 0 < y < w(x)\}$ 具有紧的 $W^{1,p}$ 到 $L^p$ 嵌入，则原始空间的嵌入亦为紧。
• 利用定理5.1的流论证方法，构造 $\Omega_w$ 上的流 $\Phi$，使其保持区域不变并满足体积衰减条件，从而保证紧性。
• 将充分条件应用于特定权重，包括 $w(x) = f(|x|)$ 满足当 $r \to 0^+$ 时 $f(r) \to \infty$，以及 $w(x) = (\log(1/x))^{1/2}$（$x > 0$），证明即使 $w \notin A_p$，嵌入仍为紧。
• 利用锥性条件与有界集的 exhaustion 方法，将问题约化为具有受控几何结构的有界区域上的紧嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般权重 $w$，加权Sobolev空间 $W^{1,p}(\Omega,w) \hookrightarrow L^p(\Omega,w)$ 的紧嵌入的必要且充分条件是什么？
• RQ2 能否通过权重次图像 $\Omega_w$ 的几何性质表征该嵌入的紧性？
• RQ3 基于次图像嵌入的充分条件是否可推广至非 $A_p$ 类的权重？
• RQ4 该紧性判据如何应用于统计模型中出现的权重，如非线性主成分分析中的概率密度？

主要发现

• 若次图像 $\Omega_w$ 具有紧的 $W^{1,p}$ 到 $L^p$ 嵌入，则嵌入 $W^{1,p}(\Omega,w) \hookrightarrow L^p(\Omega,w)$ 为紧，提供了几何充分条件。
• 对于径向权重 $w(x) = f(|x|)$，当 $f(r) \to \infty$（$r \to 0^+$）且 $\lim_{y \to \infty} f^{-1}(y+\epsilon)/f^{-1}(y) = 0$ 时，嵌入为紧。
• 在 $(-1/2, 1/2)$ 上，权重 $w(x) = (\log(1/x))^{1/2}$（$x > 0$）虽不属于 $A_p$ 类，但可产生紧嵌入。
• 当 $w(x) = g(|x|)$ 且定义域无界时，$\lim_{r \to \infty} \frac{g(r+\epsilon)}{g(r)} = 0$ 是紧性的必要条件。
• 流 $\Phi(r,\theta,y,t) = (r-t,\theta, \frac{g(r-t)}{g(r)}y)$ 满足定理5.1的假设，使得可通过体积衰减证明紧性。
• 该结果可推广至在边界或原点具有奇点的权重，只要权重的反函数在无穷远处满足衰减条件。