[论文解读] Some new characterizations of Banach spaces containing $\ell^1$

Haskell P. Rosenthal|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Advanced Banach Space Theory参考文献 25被引用 9

一句话总结

本文提出了包含同构于 $\ell^1$ 的子空间的巴拿赫空间的新刻画，建立了关于积分算子与邓弗里斯-佩蒂斯算子、弱*-紧集以及对偶空间基数条件的等价关系。主要贡献在于构建了一个全面的等价链，将 $\ell^1$-子空间的缺失与算子的紧致性性质及对偶空间的结构约束联系起来，其应用涵盖可除张量积与佩{\l}czy{\'n}ski 定理的推广。

ABSTRACT

Several new characterizations of Banach spaces containing a subspace isomorphic to $\ell^1$, are obtained. These are applied to the question of when $\ell^1$ embeds in the injective tensor product of two Banach spaces.

研究动机与目标

• 本文旨在为包含同构于 $\ell^1$ 的子空间的巴拿赫空间提供新的、全面的刻画，拓展已知结果并统一不同条件。
• 建立 $\ell^1$ 不可嵌入与对偶空间的算子理论及拓扑性质之间完整的等价链。
• 将这些刻画应用于确定 $\ell^1$ 何时可嵌入两个巴拿赫空间的可除张量积中。
• 将詹姆斯关于 $\ell^1$-畸变的定理推广至不可数情形，证明 $\ell^1_{\kappa}$-子空间对所有 $\varepsilon > 0$ 都是 $ (1+\varepsilon) $-同构于 $\ell^1_{\kappa}$。

提出的方法

• 建立 $\ell^1$ 不可嵌入与从任意巴拿赫空间 $Y$ 到 $X^*$ 的所有积分算子的紧致性之间的等价关系。
• 利用 $\ell^1$-定理与哈恩-巴拿赫分离定理构造弱-柯西序列，并在 $\ell^1$ 嵌入时导出矛盾。
• 分析序列 $ (\hat{x}_n) $ 在弱*-紧集 $ K \subset X^* $ 上的逐点聚点，将其与贝尔类及普遍可测性联系起来。
• 应用佩{\l}czy{\'n}ski 定理及其推广，证明若 $ X $ 包含 $ \ell^1_{\kappa} $，则对任意密度 $ \leq \kappa $ 的 $ L^1 $-预对偶空间 $ Z $，$ X^* $ 包含 $ Z^* $ 的 $ (1+\varepsilon) $-同构像。
• 构造 $ X $ 中有限线性组合的族 $ (f_\alpha) $，通过对下确界范数常数 $ \delta_\alpha $ 的极限论证，证明 $ \ell^1_{\kappa} $-子空间是 $ (1+\varepsilon) $-同构于 $ \ell^1_{\kappa} $。
• 利用 $ X^{**} $、$ \mathcal{L}(X^*, \ell^\infty) $ 与 $ \mathcal{L}(X^*) $ 的基数约束，刻画可分巴拿赫空间中 $\ell^1$-子空间的缺失。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些算子理论与拓扑条件在 $ X^* $ 上与 $ X $ 不包含同构于 $ \ell^1 $ 的子空间等价？
• RQ2 在何种条件下，$\ell^1$ 可嵌入两个巴拿赫空间的可除张量积 $ X \mathop{\otimes}\limits^{\vee} Y $ 中？
• RQ3 詹姆斯关于 $\ell^1$-畸变的定理能否推广至不可数的 $ \ell^1_{\kappa} $-空间？
• RQ4 在可分巴拿赫空间中，$ X^{**} $、$ \mathcal{L}(X^*) $ 的基数与 $\ell^1$-子空间的缺失之间有何关系？
• RQ5 序列 $ \hat{x}_n(k) = k(x_n) $ 在弱*-紧集 $ K \subset X^* $ 上的逐点聚点如何与贝尔类及普遍可测性相关？

主要发现

• 等价关系 (1) 成立：$ \ell^1 $ 不同构于 $ X $ 的子空间，当且仅当对任意 $ Y $，从 $ Y $ 到 $ X^* $ 的所有积分算子都是紧的。
• 等价关系 (11) 成立：在可分空间 $ X $ 中，$ X^* $ 中每个无条件族都是可数的，当且仅当 $ X $ 不包含 $ \ell^1 $。
• 等价关系 (19) 成立：$ X $ 不包含 $ \ell^1 $，当且仅当存在一个弱*-紧且同构等价于范数的 $ K \subset X^* $，使得 $ (\hat{x}_n) $ 的逐点聚点集合的基数小于 $ 2^{\frak{c}} $。
• 命题 17 证明：若 $ X $ 包含同构于 $ \ell^1_{\kappa} $ 的子空间，则对所有 $ \varepsilon > 0 $，它也包含 $ (1+\varepsilon) $-同构于 $ \ell^1_{\kappa} $ 的子空间，从而推广了詹姆斯定理。
• 推论 16 表明：若 $ X $ 包含 $ \ell^1_{\kappa} $，则对所有 $ \varepsilon > 0 $，$ X^* $ 包含 $ [C(\{0,1\}^\kappa)]^* $ 的 $ (1+\varepsilon) $-同构像。
• 定理 15 进一步推广：对任意密度 $ \leq \kappa $ 的 $ L^1 $-预对偶空间 $ Z $，对所有 $ \varepsilon > 0 $，$ X^* $ 包含 $ Z^* $ 的 $ (1+\varepsilon) $-同构像。