[论文解读] Some new developments of realization of surfaces into $R^3$

Jiaxing Hong|ArXiv.org|Apr 24, 2003

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文综述了过去十年中将曲面等距嵌入 $\mathbb{R}^3$ 的最新进展，重点关注具有正曲率或负曲率的曲面的局部与整体嵌入，以及正曲率圆盘的边界值问题。关键结果包括在曲率与平均曲率约束下 $C^\infty$ 等距嵌入的存在性定理，以及通过脐点指标对解进行表征，扩展了希尔伯特-埃菲莫夫定理，并解决了关于曲率依赖可嵌入性的长期猜想。

ABSTRACT

This paper intends to give a brief survey of the developments on realization of surfaces into $ R^3$ in the last decade. As far as the local isometric embedding is concerned, some results related to the Schlaffli-Yau conjecture are reviewed. As for the realization of surfaces in the large, some developments on Weyl problem for positive curvature and an existence result for realization of complete negatively curved surfaces into $ R^3$, closely related to Hilbert-Efimov theorem, are mentioned. Besides, a few results for two kind of boundary value problems for realization of positive disks into $R^3$ are introduced.

研究动机与目标

• 综述过去十年中二维黎曼流形等距嵌入 $\mathbb{R}^3$ 的最新发展。
• 解决局部等距嵌入问题，特别是与施拉夫利-姚猜想及曲率条件的关系。
• 研究正曲率与负曲率曲面的整体等距嵌入，包括希尔伯特-埃菲莫夫定理的推广。
• 分析正曲率圆盘等距嵌入 $\mathbb{R}^3$ 的边界值问题，特别是边界上指定平均曲率的情形。
• 通过脐点指标等不变量表征边界值问题中解空间的性质。

提出的方法

• 通过高斯方程和达布方程 $F(z) = \det(\nabla_{ij}z) - K\det(g_{ij})(1 - |\nabla z|^2) = 0$ 将等距嵌入问题转化为一阶偏微分方程组系统。
• 在低正则性与曲率约束条件下，应用压缩映射原理与隐函数定理技术求解所得的非线性偏微分方程组。
• 利用高斯-温特根方程将第二基本形式与法曲率与嵌入的几何性质相关联。
• 引入脐点指标作为拓扑不变量，通过复值微分形式 $\sigma = (EM - FL) + i(GL - EN)$ 在边界上的卷绕数定义。
• 通过施加曲率与平均曲率约束，建立诺伊曼型边界值问题的存在性与唯一性结果，特别在条件 $\frac{h}{\sqrt{K}} - 1 > 4\max_{\partial D}\left[\frac{H_0}{\sqrt{K}} - 1\right]$ 下成立。
• 分析对称与常曲率情形，推导极值可解条件，包括当 $h < H_0(1)$ 时在半径对称圆盘中解不存在的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种曲率条件下，光滑曲面可存在 $\mathbb{R}^3$ 中的局部 $C^s$ 等距嵌入？
• RQ2 能否通过 $C^s$ 正则性估计验证施拉夫利-姚猜想在非负或非正曲率度量下的成立性？
• RQ3 一个完备负曲率曲面在 $\mathbb{R}^3$ 中存在全局 $C^\infty$ 等距嵌入的充要条件是什么？
• RQ4 边界上的平均曲率如何约束正曲率圆盘等距嵌入问题的解的数量与拓扑结构？
• RQ5 脐点指标在分类等距嵌入边界值问题的解中起什么作用？

主要发现

• 对于任意 $C^s$，$s > 10$ 的非负曲率度量，存在 $\mathbb{R}^3$ 中的局部 $C^{s-6}$ 等距嵌入。
• 若曲率 $K$ 满足 $K(p) = 0$ 且 $dK(p) \neq 0$，则在点 $p$ 附近存在 $C^{s-3}$ 局部等距嵌入。
• 对于满足 $K = h^{2q}K_1$，$K_1(p) < 0$，$dh(p) \neq 0$，且 $q$ 为整数的度量，$\mathbb{R}^3$ 中存在局部 $C^s$ 等距嵌入。
• 在条件 $\frac{h}{\sqrt{K}} - 1 > 4\max_{\partial D}\left[\frac{H_0}{\sqrt{K}} - 1\right]$ 下，正曲率圆盘的诺伊曼问题 $N$ 恰好存在两个 $C^\infty$ 解，且脐点指标 $n$ 给定。
• 在常曲率情形下，若 $h > \sqrt{K}$，则对任意非负整数 $n$ 及任意 $n+1$ 个互异的点 $p_0 \in \partial D$，$p_1, \dots, p_n \in D$，其中一条主方向在 $p_0$ 处切于 $\partial D$，问题 $N$ 可解。
• 对于满足 $H_0(1) > \sqrt{K(1)}$ 的半径对称正曲率圆盘，若 $h < H_0(1)$，即使 $h > \sqrt{K(1)}$，也不存在 $C^2$ 解，表明存在一个精确的不可解阈值。