[论文解读] Some New Exact van der Waerden Numbers

Bruce Landman, Aaron Robertson+1 more|ArXiv.org|Jul 1, 2005

Mathematics and Applications参考文献 6被引用 26

一句话总结

本文提出了混合范德瓦尔登数 $w(k_0, k_1, \dots, k_{r-1})$ 的新精确值，其目标是找到最小的 $n$，使得 $[1,n]$ 的任意 $r$-染色中均包含颜色 $i$ 的单色 $k_i$-项等差数列。当 $k$ 相对于 $r$ 足够大时，本文推导出 $w(k,2,2,\dots,2;r)$ 的精确公式，显著扩展了已知数值，并为极值染色结构提供了深入见解。

ABSTRACT

For positive integers $r,k_0,k_1,...,k_{r-1},$ the van der Waerden number $w(k_0,k_1,...,k_{r-1})$ is the least positive integer $n$ such that whenever $\{1,2,...,n\}$ is partitioned into $r$ sets $S_{0},S_{1},...,S_{r-1}$, there is some $i$ so that $S_i$ contains a $k_i$-term arithmetic progression. We find several new exact values of $w(k_0,k_1,...,k_{r-1})$. In addition, for the situation in which only one value of $k_i$ differs from 2, we give a precise formula for the van der Waerden function (provided this one value of $k_i$ is not too small)

研究动机与目标

• 将已知的混合范德瓦尔登数表 $w(k_0, k_1, \dots, k_{r-1})$ 的数值扩展至先前发表值之外。
• 研究避免在每个颜色类中出现单色 $k_i$-项等差数列的极值 $r$-染色的结构。
• 当 $k$ 相对于 $r$ 足够大时，推导出 $w(k,2,2,\dots,2;r)$ 的闭式公式，为所有 $k_i$ 除一个外均为 2 的情形提供一般解。
• 分析防止形成长单色等差数列的区间划分与染色模式的组合约束。

提出的方法

• 作者使用改进的 'culprit' 算法，结合回溯法及其他搜索技术，计算出新的精确范德瓦尔登数。
• 他们分析 $[1,n-1]$ 的最大长度 $r$-染色，这些染色在颜色 $i$ 中避免出现单色 $k_i$-项等差数列，将其视为有效染色。
• 该方法涉及在连续关键点 $y_i$ 之间定义区间 $B_i$，其中 $y_i$ 标记颜色块的结束，并分析长度 $\alpha_i = |B_i|$。
• 他们应用数论约束，特别是模运算及雅可比斯特尔函数的性质，以排除长单色等差数列的存在。
• 在公式推导中，他们基于差值 $y_{i+1} - y_i$ 模小整数 $t$ 的分布，使用结构化论证，表明某些同余模式会导致不可避免的单色等差数列。
• 他们利用朱尔卡特与里歇特关于前 $\pi(r)$ 个素数的整数间隔最大间隙的结果建立界限，并应用渐近估计以控制 $j$ 的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 当至少两个 $k_i > 2$ 时，混合范德瓦尔登数 $w(k_0, k_1, \dots, k_{r-1})$ 的精确值是什么？其范围超出先前已知的值。
• RQ2 当 $k$ 相对于 $r$ 足够大时，能否为 $w(k,2,2,\dots,2;r)$ 推导出一个通用公式？
• RQ3 避免在每个颜色类中出现单色 $k_i$-项等差数列的最大 $r$-染色的结构特性是什么？
• RQ4 连续染色变化点 $y_i$ 之间差值的模约束如何影响单色等差数列的存在？

主要发现

• 本文确定了 $w(11,3) = 114$，$w(12,3) = 135$，以及 $w(13,3) = 160$，将 $w(k,3)$ 在 $k \geq 11$ 时的已知值扩展至更高。
• 证明了 $w(3,4,4,3) = 89$，$w(3,5,3,3) = 80$，以及 $w(3,6,4,2) = 83$，为多个 $k_i > 2$ 的混合染色情形提供了新的精确值。
• 对于 $w(k,2,2,\dots,2;r)$，本文推导出精确公式：当 $k \geq 2r - 3$ 且满足特定模条件时，有 $w(k,2,\dots,2;r) = kr - r + 2$。
• 作者指出，当 $k \geq \pi(r)^3(r-2)$ 时，公式 $w(k,2,\dots,2;r) = kr - r + 2$ 成立，其依据来自雅可比斯特尔函数的界限及素因子分布。
• 他们证明，在长度为 $w-1$ 的最大有效染色中，首尾颜色块的长度 $\alpha_i$ 必须恰好为 $k-1$，而内部块的长度为 $k-j-1$，在推导出的条件下成立。
• 本文确认了主公式条件的逆命题成立：若 $k$ 满足模 $\#r$ 的所需同余条件，则公式适用，且这些条件对公式给出正确值而言是必要且充分的。