[论文解读] Some new formulas for Appell series over finite fields

Long Li, Xin Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文通过有限域上的乘法特征，引入了阿佩尔F₁级数的有限域类比，建立了变换与约化公式、生成函数以及二项式系数表示。主要贡献是建立了有限域上阿佩尔级数的多变量生成函数恒等式，将格林的有限域超几何理论从单变量推广至双变量情形，并给出了显式的特征和表达式。

ABSTRACT

In 1987 Greene introduced the notion of the finite field analogue of hypergeometric series. In this paper we give a finite field analogue of Appell series and obtain some transformation and reduction formulas. We also establish the generating functions for Appell series over finite fields.

研究动机与目标

• 通过有限域上的乘法特征，发展阿佩尔F₁超几何级数的有限域类比。
• 将格林的有限域超几何理论从单变量情形推广至双变量情形。
• 推导有限域上新阿佩尔级数的变换与约化公式。
• 基于特征和与二项式系数，建立阿佩尔级数的生成函数。
• 将经典超几何函数的已知结果推广至有限域情形，给出显式的基于特征的恒等式。

提出的方法

• 将有限域阿佩尔F₁级数定义为特征和：$\mathbb{F}_1(A;B,B';C;x,y) = \varepsilon(xy)AC(-1)\sum_u A(u)\overline{A}C(1-u)\overline{B}(1-ux)\overline{B'}(1-uy)$。
• 通过恒等式 $\mathbb{F}_1(A;B,B';C;x,y) = \frac{1}{(q-1)^2}\sum_{\chi,\lambda}\binom{A\chi\lambda}{C\chi\lambda}\binom{B\chi}{\chi}\binom{B'\lambda}{\lambda}\chi(x)\lambda(y)$，以二项式系数表达阿佩尔级数。
• 利用有限域二项式系数 $\binom{A}{B} = B(-1)J(A,\overline{B})$，将特征和与雅可比和联系起来。
• 通过操纵特征和表达式并应用正交关系，推导变换恒等式。
• 通过对方程中的辅助特征 $\theta$ 求和，建立生成函数，导出涉及 $\theta(t)$ 和缩放参数的恒等式。
• 将结果应用于恢复有限域上经典 $_2\mathbb{F}_1$ 超几何函数的生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过乘法特征自然地将阿佩尔的F₁超几何级数扩展至有限域情形？
• RQ2 有限域阿佩尔F₁级数的变换与约化公式是否类似于经典恒等式？
• RQ3 能否使用特征和技巧推导出有限域阿佩尔级数的生成函数？
• RQ4 有限域阿佩尔级数与有限域超几何函数 $_2\mathbb{F}_1$ 之间有何关系？
• RQ5 二项式系数与雅可比和在表达与简化有限域上的阿佩尔级数中起什么作用？

主要发现

• 有限域阿佩尔F₁级数通过 $\mathbb{F}_q$ 上四个乘法特征与两个变量的特征和定义，包含归一化因子 $\varepsilon(xy)AC(-1)$ 以实现对称性与简化。
• 阿佩尔级数的另一种表示形式为对特征 $\chi, \lambda$ 的双重求和，涉及二项式系数 $\binom{A\chi\lambda}{C\chi\lambda}$、$\binom{B\chi}{\chi}$ 与 $\binom{B'\lambda}{\lambda}$。
• 该级数满足对称性：$\mathbb{F}_1(A;B,B';C;x,y) = \mathbb{F}_1(A;B',B;C;y,x)$，反映了经典F₁函数的对称性。
• 建立了多变量生成函数恒等式：$\frac{1}{q-1}\sum_\theta \binom{B\theta}{\theta} \mathbb{F}_1(A;B\theta,B';C;x,y)\theta(t) = \varepsilon(t)\overline{B}(1-t)\mathbb{F}_1(A;B,B';C;\frac{x}{1-t},y) - \varepsilon(y)\overline{B}(-t)B'\overline{C}(x)\overline{A}C(1-x)\overline{B'}(x-y)$。
• 由此导出了两个关于单变量 $_2\mathbb{F}_1$ 函数的生成函数，表明其与经典生成函数恒等式在有限域情形下的一致性。
• 结果将格林的有限域超几何函数理论推广至双变量情形，为有限域上多重超几何函数的进一步研究提供了框架。