[论文解读] Some New Generalized Results on Ostrowski Type Integral Inequalities With Application

Ather Qayyum, Muhammad Shoaib+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文通过引入一种新型核函数，提出了广义的Ostrowski型积分不等式，扩展了Cerone和Dragomir的结果。该文推导了函数与其在子区间上加权积分平均值之间偏差的界，以导数的$L_p$-范数形式给出精确估计，适用于可靠性理论中的累积分布函数。

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish some new inequalities similar to the Ostrowski's inequalities which are more generalized than the inequalities of Dragomir and Cerone. The current article obtains bounds for the deviation of a function from a combination of integral means over the end intervals covering the entire interval. Some new purterbed results are obtained. Application for cumulative distribution function is also discussed.

研究动机与目标

• 通过引入新的核函数，推广现有的Ostrowski型及Ostrowski-Grüss型不等式。
• 推导函数与其在子区间上加权积分平均值之间偏差的更紧界。
• 将Cerone和Dragomir的结果扩展至包含高阶导数和$L_p$-范数的情形。
• 在可靠性理论中应用累积分布函数。
• 为$f'' \in L_p[a,b]$，$p = 1, \infty, \text{ 和 } p > 1$的情形建立误差界中的精确常数。

提出的方法

• 引入一个分段定义于$[a,x]$和$[x,b]$的新型Peano型核函数$p(x,t)$，使用参数$\alpha, \beta, h$。
• 通过分部积分法，将偏差泛函$\tau(x;\alpha,\beta)$表示为$f'$和$f''$的函数。
• 应用Hölder不等式，以$\|f''\|_p$（$p = 1, \infty, \text{ 和 } p > 1$）的形式界定所得积分。
• 推导涉及$\|f''\|_\infty$、$\|f''\|_p$和$\|f''\|_1$的误差界，并为每种情形给出显式表达式。
• 将结果应用于累积分布函数$F(x)$，将其与期望值及可靠性理论联系起来。
• 考虑$\beta = 0$等特殊情况，以恢复已知不等式并验证一般框架的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Ostrowski型不等式推广至包含子区间上加权积分平均值的情形？
• RQ2 函数与其加权积分平均值之间偏差的最优界是什么，以$\|f''\|_p$表示？
• RQ3 当$f'' \in L_p[a,b]$，$p = 1, \infty, \text{ 和 } p > 1$时，能否推导出误差界的精确常数？
• RQ4 新不等式在可靠性理论中累积分布函数的应用如何？
• RQ5 新核函数在提升现有Ostrowski型结果的精确性与一般性方面起什么作用？

主要发现

• 本文建立了$\left| \tau(x;\alpha,\beta) \right|$的新不等式，其界以$\|f'\|_\infty$、$\|f'\|_p$和$\|f'\|_1$表示，推广了Cerone的结果。
• 当$f'' \in L_\infty[a,b]$时，界为$\left[ (b-x)\left(\left[x - (a + h\frac{b-a}{2})\right]^3 + (h\frac{b-a}{2})^3\right) - (x-a)\left( (h\frac{b-a}{2})^3 + \left[x - (b - h\frac{b-a}{2})\right]^3 \right) \right] \frac{\|f''\|_\infty}{12} $。
• 当$f'' \in L_p[a,b]$，$p > 1$时，界包含一个Hölder型项：$\left[ \frac{1}{(x-a)^q} \left( \cdots \right)^{2q+1} + \frac{1}{(b-x)^q} \left( \cdots \right)^{2q+1} \right]^{1/q} \frac{(b-x)(x-a)}{4(2q+1)^{1/q}} \|f''\|_p $。
• 当$f'' \in L_1[a,b]$时，界以绝对值和线性项的和表示，涉及$\|f''\|_1$，并给出显式系数。
• $\beta = 0$的特殊情况恢复了一个已知不等式，并以新方法推导，确认了框架的一致性。
• 结果被应用于累积分布函数$F(x)$，表明$F(x)$可利用$f(x)$、$f'(x)$、$f'(a)$和$f'(b)$进行近似，且误差界以$\|f''\|_p$表示。