[论文解读] Some new inequalities in additive combinatorics

Ilya D. Shkredov|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 26被引用 58

一句话总结

本文引入了阿贝尔群中交集 $ A \cap (A - x) $ 的新不等式，利用特征值方法推导出加法能量和高阶矩的界。研究建立了乘法子群和凸集加法能量的改进上界，证明了 $ \mathsf{E}(A) = O(|A|^{5/2 - \varepsilon_0}) $，其中 $ \varepsilon_0 > 0 $ 为绝对常数，从而得到更强的倍数常数下界和和集增长估计。

ABSTRACT

In the paper we find new inequalities involving the intersections $A\cap (A-x)$ of shifts of some subset $A$ from an abelian group. We apply the inequalities to obtain new upper bounds for the additive energy of multiplicative subgroups and convex sets and also a series another results on the connection of the additive energy and so--called higher moments of convolutions. Besides we prove new theorems on multiplicative subgroups concerning lower bounds for its doubling constants, sharp lower bound for the cardinality of sumset of a multiplicative subgroup and its subprogression and another results.

研究动机与目标

• 开发涉及阿贝尔群中子集 $ A $ 的交集 $ A \cap (A - x) $ 的新不等式。
• 将这些不等式应用于改进乘法子群和凸集的加法能量 $ \mathsf{E}(A) $ 的上界。
• 为这类集合的倍数常数和和集大小建立改进的下界。
• 通过将指数 $ 5/2 $ 替换为 $ 5/2 - \varepsilon_0 $（其中 $ \varepsilon_0 > 0 $ 为绝对常数）来推广现有结果。

提出的方法

• 通过分析由 $ \mathsf{T}_{x,y} = (\chi_A \circ \chi_A)(x - y) $ 定义的算子 $ \mathsf{T} $，利用特征值方法，将其与加法能量通过 $ \mathsf{E}(A) = \langle \mathsf{T} \chi_A, \chi_A \rangle $ 联系起来。
• 应用加权版本的 Katz–Koester 技巧，通过 $ |(A+A) \cap (A+A - x)| \geq |A + (A \cap (A - x))| $ 将和集交集与局部加法结构联系起来。
• 采用一种新颖的局部分析技术，通过优化权重并利用对偶性：$ x \in A - A_x $ 当且仅当 $ s \in A - A_x $，从而控制 $ A_x = A \cap (A - x) $。
• 利用 Balog–Szemerédi–Gowers 定理和 Plünnecke–Ruzsa 不等式，将能量界转化为和集增长估计。
• 应用 Hölder 型不等式和柯西-施瓦茨不等式来控制特征值和特征函数，特别关注谱分解中的 $ \mu_0 $ 和 $ \omega_0 $。
• 通过定理 57 提出一个通用框架，将 $ \mathsf{E}_3(A) $、和集 $ D $ 以及存在一个具有受控倍数的较大子集 $ A' $ 的存在性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将乘法子群和凸集已知的加法能量界中的指数 $ 5/2 $ 改进为 $ 5/2 - \varepsilon_0 $，其中 $ \varepsilon_0 > 0 $ 为绝对常数？
• RQ2 可以推导出哪些涉及 $ A \cap (A - x) $ 及其高阶矩的新不等式，以控制加法能量？
• RQ3 特征值方法如何被调整，以在 $ \mathsf{E}_3(A) $ 较小时获得更强的倍数常数界？
• RQ4 能否通过局部谱分析改进 Katz–Koester 不等式，以获得更好的和集估计？

主要发现

• 乘法子群 $ \Gamma \subseteq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \setminus \{0\} $ 的加法能量满足 $ \mathsf{E}(\Gamma) = O(|\Gamma|^{5/2 - \varepsilon_0}) $，其中 $ \varepsilon_0 > 0 $ 为绝对常数。
• 对于 $ \mathbb{R} $ 中的凸集 $ A $，其加法能量满足 $ \mathsf{E}(A) = O(|A|^{5/2 - \varepsilon_0}) $，优于先前的界。
• 任意乘法子群 $ \Gamma $ 的倍数常数满足 $ |\Gamma \pm \Gamma| \geq |\Gamma|^{3/2 + \varepsilon_0} $，其中 $ \varepsilon_0 > 0 $ 为绝对常数。
• 对于凸集 $ A $，其和集满足 $ |A \pm A| \geq |A|^{3/2 + \varepsilon_0} $，同样 $ \varepsilon_0 > 0 $ 为绝对常数。
• 建立了一个新的通用不等式：$ \sum_x \frac{|A_x|^2}{|A \pm A_x|} \leq |A|^{-2} \sum_x |A_x|^3 $，其中 $ A_x = A \cap (A - x) $。
• 推导出一个新的三线性不等式：$ \sum_{x,y,z \in A} |A_{x-y}| |A_{x-z}| |A_{y-z}| \geq |A|^{-3} \left( \sum_x |A_x|^2 \right)^3 $。