[论文解读] Some new near-normal sequences

Dragomir Ž. Djoković|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2009

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文证明了在 n = 32 和 n = 34 时存在近正态序列，确认了这些偶数值下杨氏猜想。通过穷举式计算机搜索，作者对 n = 32 的 8 个 NN-等价类进行了分类，并为 n = 34 构造了两个非等价类，同时证明了 NS(31) 和 NS(33) 为空，从而表明 63 和 67 不是杨数，而 69 是一个新的杨数。

ABSTRACT

The normal sequences NS(n) and near-normal sequences NN(n) play an important role in the construction of orthogonal designs and Hadamard matrices. They can be identified with certain base sequences (A;B;C;D), where A and B have length n+1 and C and D length n. C.H. Yang conjectured that near-normal sequences exist for all even n. While this has been confirmed for n not exceeding 30, so far nothing else was known for larger n. We show that NN(32) consists of 8 equivalence classes and we exhibit their representatives. We also construct representatives for two equivalence classes of NN(34). On the other hand our exhaustive computer searches show that NS(31) and NS(33) are void.

研究动机与目标

• 研究偶数 n > 30 时近正态序列（NN(n)）的存在性，扩展此前至 n=30 的结果。
• 确认或反驳 C.H. 杨氏猜想，即对所有偶数 n，NN(n) 非空。
• 确定奇数 n 时是否存在正态序列（NS(n)），特别是 n=31 和 n=33，因为这些是识别杨数的关键。
• 在 NN-等价关系下，对 NN(32) 的结构进行分类，并通过计算枚举构造 NN(34) 的代表元。
• 通过分析 NS(n) 和 NN(n) 的非空性，确立新的杨数，对 Hadamard 矩阵的构造具有影响。

提出的方法

• 采用穷举式计算机搜索，枚举 n=32 时在 NN-等价关系下的所有近正态序列，对 n=34 进行部分枚举。
• 使用与先前工作 [2] 相同的算法，生成并验证满足范数条件 N(A)+N(B)+N(C)+N(D)=2(2n+1) 的基序列，其中 n=32 和 n=34。
• 验证候选序列满足近正态条件：对 1 ≤ i ≤ n，有 b_i = (-1)^{i-1} a_i。
• 采用紧凑编码形式表示序列，以实现高效存储与比较，详细编码方式见先前文献 [2,3]。
• 应用 Goethals–Seidel 数阵构造方法，从有效基序列生成 Hadamard 矩阵。
• 利用杨数的定义（奇数 2s+1，其中 NS(s) 或 NN(s) 非空）推断 63、67 和 69 的状态。

实验结果

研究问题

• RQ1 近正态序列的存在性是否在 n=32 和 n=34 时成立，从而将杨氏猜想的范围扩展至 n=30 以上？
• RQ2 n=31 和 n=33 时是否存在正态序列，这对 63、67 和 69 作为杨数的状态有何影响？
• RQ3 NN(32) 中存在多少个 NN-等价类，其结构特性是什么？
• RQ4 能否为 n=34 构造出新的非等价近正态序列，它们与已知类别的关系如何？
• RQ5 这些发现对通过杨乘法和 Williamson 型矩阵构造 Hadamard 矩阵有何影响？

主要发现

• NN(32) 恰好由 8 个 NN-等价类构成，其代表元已明确构造并编码。
• 为 NN(34) 构造了两个非等价的近正态序列，尽管完整分类尚未完成。
• NS(31) 和 NS(33) 均为空，经穷举式计算机搜索确认。
• 63 和 67 不是杨数，因为 NS(31) 和 NS(33) 均为空。
• 69 是一个新的杨数，因为 NN(34) 非空，这通过杨乘法可导出无穷多个新的 Hadamard 矩阵。
• 结果确认了杨氏猜想在 n=32 和 n=34 时成立，扩展了已知存在近正态序列的偶数 n 的范围。