[论文解读] Some new problems in additive combinatorics

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文引入并研究了阿贝尔群中元素的排列与循环排列的加法组合学新问题，特别关注确保相邻和或差互不相同的条件。证明了当奇素数幂 $ q = 2n+1 > 13 $，$ q \neq 25 $ 时，存在 $ \mathbb{F}_q $ 中非零二次剩余的循环排列，使得相邻和（或差）构成这些剩余的完整集合，并在无挠阿贝尔群和整数序列中建立了类似结果。

ABSTRACT

In this paper we investigate some new problems in additive combinatorics. Our problems mainly involve permutations (or circular permutations) $n$ distinct numbers (or elements of an additive abelian group) $a_1,\ldots,a_n$ with adjacent sums $a_i+a_{i+1}$ (or differences $a_i-a_{i+1}$) pairwise distinct. For an odd prime power $q=2n+1>13$ with $q ot=25$, we show that there is a circular permutation $(a_1,\ldots,a_n)$ of the elements of $S=\{a^2:\ a\in\mathbb F_q\setminus\{0\}\}$ such that $\{a_1+a_2,\ldots,a_{n-1}+a_n,a_n+a_1\}=S$, where $\mathbb F_q$ denotes the field of order $q$. For any finite subset $A$ of an additive torsion-free abelian group $G$ with $|A|=n>3$, we prove that there is a numbering $a_1,\ldots,a_n$ of the elements of $A$ such that $$a_1+2a_2,\ a_2+2a_3,\ \ldots,\ a_{n-1}+2a_n,\ a_n+2a_1$$ are pairwise distinct. We also pose 30 open conjectures for further research.

研究动机与目标

• 探索涉及互异相邻和或差的新一类排列问题。
• 研究在有限域中，非零二次剩余的循环排列是否存在，使得相邻和或差也是二次剩余。
• 将关于互异相邻差与和的结果推广至一般无挠阿贝尔群。
• 提出并支持关于可除性、素数分布与算术函数的30个开放猜想。

提出的方法

• 通过有限域和无挠阿贝尔群中的构造性与组合性论证证明存在性定理。
• 利用 $ q = 2n+1 $ 为奇素数幂时 $ \mathbb{F}_q $ 的性质与二次剩余结构。
• 应用通过策略性重排保持相邻和或差互异性的排列构造方法。
• 借助群论与数论工具，包括欧拉函数与组合零点定理。
• 通过计算验证猜想，并利用OEIS序列提供支持性数据。
• 通过归纳法与情形分析建立结果，尤其针对小的 $ n $，并推广至一般 $ n > 3 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个模素数幂 $ q = 2n+1 > 13 $，$ q \neq 25 $ 的非零二次剩余的循环排列，使得所有相邻和互不相同且构成完整的剩余集合？
• RQ2 能否构造一个无挠阿贝尔群中 $ n $ 个不同元素的循环排列，使得 $ a_i + 2a_{i+1} $ 的值互不相同？
• RQ3 对于任意无挠阿贝尔群的有限子集 $ A $，是否存在一种编号方式，使得 $ a_i + 2a_{i+1} $ 的所有值互不相同？
• RQ4 能否构造一个前 $ n $ 个素数的循环排列，使得相邻绝对差互不相同，且从2开始并以2结束？
• RQ5 是否存在模 $ p = 2n+1 $ 的二次剩余的排列，使得相邻差或和也是二次剩余？

主要发现

• 对于任意奇素数幂 $ q = 2n+1 > 13 $，$ q \neq 25 $，存在 $ \mathbb{F}_q $ 中 $ n $ 个非零二次剩余的循环排列，使得相邻和集合 $ \{b_1 + b_2, \dots, b_n + b_1\} $ 等于二次剩余的完整集合 $ S $。
• 对于任意 $ n > 3 $，存在一个 $ 0, \dots, n $ 的循环排列，满足 $ i_0 = 0 $，$ i_n = n $，使得所有 $ n+1 $ 个相邻差 $ i_j - i_{j+1} $ 互不相同。
• 在任意无挠阿贝尔群中，当 $ n > 3 $ 时，存在 $ n $ 个不同元素的循环排列，使得 $ b_i + 2b_{i+1} $ 的值互不相同。
• 对于任意无挠阿贝尔群中满足 $ |A| = n > 3 $ 的有限子集 $ A $，存在一种编号 $ a_1, \dots, a_n $，使得 $ a_i + 2a_{i+1} $ 的所有值互不相同。
• 本文证实了Alon与Bourgain关于模 $ p $ 的二次剩余的循环排列中相邻差或和也是二次剩余的猜想，在较弱条件下成立。
• 本文提出了30个开放猜想，涉及卡塔兰数的可除性、欧拉函数与除数函数，均与同余方程 $ m+n \mid f(m,n) $ 解的存在性相关。