[论文解读] Some New Results on the Cross Correlation of $m$-sequences

Tao Zhang, Shuxing Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文在 $\gcd(r,3) = 1$ 的条件下，确定了周期为 $3^{3r}-1$ 的三元 $m$-序列在 $d = 3^r + 2$ 和 $d = 3^{2r} + 2$ 两种扰相下的互相关分布，并研究了周期为 $2^{2lm}-1$ 的二元 $m$-序列在扰相 $d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$ 下的互相关特性，证明其取值至少为四个，并验证了 Sarwate 等人与 Helleseth 的两个主要猜想。

ABSTRACT

The determination of the cross correlation between an $m$-sequence and its decimated sequence has been a long-standing research problem. Considering a ternary $m$-sequence of period $3^{3r}-1$, we determine the cross correlation distribution for decimations $d=3^{r}+2$ and $d=3^{2r}+2$, where $\gcd(r,3)=1$. Meanwhile, for a binary $m$-sequence of period $2^{2lm}-1$, we make an initial investigation for the decimation $d=\frac{2^{2lm}-1}{2^{m}+1}+2^{s}$, where $l \ge 2$ is even and $0 \le s \le 2m-1$. It is shown that the cross correlation takes at least four values. Furthermore, we confirm the validity of two famous conjectures due to Sarwate et al. and Helleseth in this case.

研究动机与目标

• 在 $\gcd(r,3) = 1$ 条件下，确定周期为 $3^{3r}-1$ 的三元 $m$-序列在 $d = 3^r + 2$ 和 $d = 3^{2r} + 2$ 扰相下的互相关分布。
• 研究周期为 $2^{2lm}-1$ 的二元 $m$-序列在扰相 $d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$ 下的互相关特性，其中 $l \geq 2$ 为偶数且 $0 \leq s \leq 2m-1$。
• 在新的扰相框架下，验证 Sarwate 等人与 Helleseth 的两个长期存在的猜想的有效性。
• 确立在二元情形下，互相关函数至少取四个不同的值，突破了已知的三值界限。

提出的方法

• 通过 Weil 和分析互相关函数，表示为 $ C_d(z) = \sum_{x \in \text{GF}(p^n)^*} \chi(zx - x^d) $，其中 $ \chi(x) = \omega^{\text{Tr}(x)} $。
• 对于三元情形，作者采用受 Dobbertin 和 Feng 等人启发的代数技巧，利用有限域与特征和的结构。
• 对于二元情形，方法涉及将乘法群 $ \text{GF}(2^{4m})^* $ 分解为子群 $ C_0 $ 和 $ D_0 $ 的陪集，并分析 $ zx + x^{d2^{-s}} $ 在这些陪集中的分布。
• 分析涉及方程 $ (zx + x^{d2^{-s}})^{(2^{4m}-1)/(2^m+1)} = 1 $ 的解的数量，将其与互相关值关联。
• 作者将 $ n_i(z) $ 定义为满足 $ zx + x^{d2^{-s}} \in C_i $ 的 $ x $ 的数量，并利用这些量计算和 $ S_d(z) $，该和对应于互相关值。
• 证明依赖于群作用下的解计数，以及在二元情形下对分圆陪集和 Dickson 多项式的性质的应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\gcd(r,3) = 1$ 条件下，周期为 $3^{3r}-1$ 的三元 $m$-序列在扰相 $d = 3^r + 2$ 下的精确互相关分布是什么？
• RQ2 周期为 $2^{2lm}-1$ 的二元 $m$-序列在扰相 $d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$ 下的互相关是否至少取四个不同的值？
• RQ3 Sarwate 等人与 Helleseth 的猜想在扰相 $d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$ 且 $l \geq 2$ 为偶数时是否成立？
• RQ4 在二元情形下，互相关分布是否可被完全确定，或其取值是否超过四个？

主要发现

• 在 $\gcd(r,3) = 1$ 条件下，三元 $m$-序列在 $d = 3^r + 2$ 和 $d = 3^{2r} + 2$ 下的互相关分布被完全确定，其分布与 $\gcd(r,3) = 1$ 情况下的结果一致。
• 对于扰相 $d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$ 的二元 $m$-序列，其互相关函数至少取四个不同的值，确认了超越已知三值最小值的下界。
• 互相关和 $ S_d(z) $ 至少取两个不同的正值，其中一个至少为 $ 2^{2m+1} $，表明其分布具有非平凡性。
• 当 $ u = (d2^{-s} + 1, 2^m + 1) = 2^m + 1 $ 时，对所有 $ z \neq 1 $ 有 $ S_d(z) = 2^{3m} $，且 $ S_d(1) = 0 $，显示出值的清晰分离。
• 作者确认，Sarwate 等人与 Helleseth 的两个著名猜想在该扰相下依然成立，尽管分布结构复杂。
• 数值实验表明，互相关可能取八个或更多值，表明完全确定分布仍是具有挑战性的开放问题。