[论文解读] Some Notes on Constructions of Binary Sequences with Optimal Autocorrelation

Tongjiang Yan, Guang Gong|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于交织方法和几乎差集的二元序列广义构造方法，用于生成具有最优自相关特性的序列，扩展了已知的周期自相关值为{0, -4}、{1, -3}、{2, -2}和{-1, 3}的结果。主要贡献在于提出了一套统一框架，从已知的基序列（如勒让德序列、西德尔尼科夫序列和孪生素数序列）出发，推导出最优序列，并通过模运算和二次剩余性质显式导出自相关函数。

ABSTRACT

Constructions of binary sequences with low autocorrelation are considered in the paper. Based on recent progresses about this topic, several more general constructions of binary sequences with optimal autocorrelations and other low autocorrelations are presented.

研究动机与目标

• 为CDMA和密码学应用开发更通用的具有最优自相关特性的二元序列构造方法。
• 统一并扩展已有的自相关旁瓣值为{0, -4}、{1, -3}、{2, -2}和{-1, 3}的序列构造方法。
• 利用交织法与几乎差集的性质，生成具有最优相关特性的新序列族。
• 基于模运算和二次剩余集，为新构造的序列提供显式的自相关函数。

提出的方法

• 采用交织构造方法，其中周期为4N的序列w通过将四个经位移的基序列a_i与4元组t的元素组合而成。
• 利用理想恒等式(Ia和Ib)推导交织序列w的自相关特性，这些恒等式将w的相关性与分量序列a和b的相关性关联起来。
• 该方法在Z_{2^n+1}或模数为p（其中p ≡ 1或3 mod 4）的整数环上应用模运算，根据τ的分量τ₁和τ₂对相关值进行分类。
• 利用模p的二次剩余(QR)与非剩余(NQR)集合，确定勒让德序列的相关值，特别是在p ≡ 1或3 mod 4时的情形。
• 对于孪生素数序列，该方法采用模(p+2)对位移进行分类，并根据同余条件计算相关值。
• 该框架系统性地评估所有可能的4元组t与基序列对(a, b)，以识别出产生最优自相关值的组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 交织构造方法能否被广义化，以在已知序列族之外生成具有最优自相关特性的二元序列？
• RQ2 为实现最优自相关值，基序列与位移元组需满足哪些必要且充分条件？
• RQ3 模p的二次剩余与非剩余性质如何影响交织构造中基于勒让德序列的自相关特性？
• RQ4 能否通过特定的位移模式，系统性地扩展孪生素数序列的互相关行为？
• RQ5 几乎差集与位移元组t的结构在实现最优相关特性中起到何种作用？

主要发现

• 本文利用交织方法与已知基序列，构造出具有最优自相关值{0, -4}、{1, -3}、{2, -2}和{-1, 3}的二元序列。
• 对于p ≡ 3 mod 4的勒让德序列，当τ₂ = 0时，旁瓣自相关值为-4；当τ₁与η模p变化时，自相关值在-4至4之间变化。
• 当使用p ≡ 1 mod 4的勒让德序列时，τ₂ = 0时自相关值为-4，且取决于τ₁ + η是否为模p的二次剩余或非剩余。
• 对于孪生素数序列，当τ₂ = 0且τ₁ ≡ 0 mod (p+2)时，自相关值为-4；否则为4，且当τ₂ = 1或τ₂ = 2时自相关值为零。
• 该构造方法对所有满足H(t) = 1或3的位移模式t，以及成对的m序列或GGMW序列，均能生成具有最优自相关特性的序列。
• 该框架证实，当t = 0111或t = 0001时，交织构造可产生具有{0, -4}或{0, ±4}自相关特性的序列，扩展了先前研究中的已知结果。