[论文解读] Some notes on trees and paths

Ben Hambly, Terry Lyons|ArXiv.org|Sep 8, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通过在拓扑空间上定义连续高度函数，建立了R-树的奠基性表示——即唯一弧连通的度量空间。证明了任意R-树均可作为连续函数的水平集的商空间而构造出来。核心贡献在于一种构造性刻画：每个R-树都与一个正的、连续的高度函数下具有相等轮廓值的点被等价关系识别后形成的度量空间等距同构，从而将基于随机游走首达时的离散树编码推广至连续情形。

ABSTRACT

These notes cover background material on trees which are used in the paper `On uniqueness of the signature of a path of variation and the reduced path group'.

研究动机与目标

• 通过拓扑空间上的连续高度函数，提供R-树的构造性刻画。
• 将基于随机游走首达时的离散树编码推广至连续、紧致的R-树。
• 证明每个R-树均可作为紧致、连通、局部连通空间上连续函数的商空间而实现。
• 将R-树的抽象理论与布朗运动蛇、测度取值过程等概率构造相联系。
• 明确连续函数的商空间生成完备、紧致或完全有界的R-树的条件。

提出的方法

• 通过连续的正高度函数h，在拓扑空间I上定义等价关系~，其中x ~ y当且仅当h(x) = h(y)，且它们在h(x)以下的子水平轮廓一致。
• 在区间上构造伪度量d(m,n) = h(m) + h(n) - 2 inf_{u∈[m,n]} h(u)，该度量通过首达路径编码树结构。
• 将伪度量d投影到商空间I/~上，得到商空间Ẽ上的良定义度量d̃，使其成为一个度量空间。
• 证明Ẽ是完备的、唯一弧连通的度量空间，且其弧等距同构于区间，因此构成一个R-树。
• 通过将树上的根距离函数拉回到闭区间，证明每个紧致R-树均可如此构造为商空间。
• 利用h和λ(y,·)的下极限连续性，证明商映射i: I → Ẽ连续，从而在I紧致时保证Ẽ的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个R-树是否都能表示为拓扑空间上连续高度函数的商空间？
• RQ2 在连通、局部连通空间上，连续函数的商空间在何种条件下生成完备且紧致的R-树？
• RQ3 空间I上连续函数h的轮廓结构如何决定所生成R-树的度量性质？
• RQ4 h的水平集与定义商空间Ẽ的等价类之间有何关系？
• RQ5 每个紧致R-树是否都能作为[0,1]上连续路径的像而实现，且以根距离函数作为高度函数？

主要发现

• 每个R-树都与通过在拓扑空间I中识别具有相等高度且子水平轮廓一致的点所得到的商空间Ẽ等距同构。
• Ẽ上的度量d̃是良定义的，且使Ẽ成为一个唯一弧连通的度量空间，其弧等距同构于区间，满足R-树的定义。
• 若定义域I紧致且h连续正，则商空间Ẽ为紧致R-树。
• 商映射i: I → Ẽ连续，且由于紧集的连续像仍为紧集，故当I紧致时Ẽ为紧致。
• 每个紧致R-树均可作为[0,1]上连续高度函数的商空间实现，通过拉回树上的根距离函数。
• 该构造将基于随机游走首达时的离散树编码推广至连续树，为布朗运动蛇及相关随机过程提供了严谨基础。