[论文解读] Some Observations on Khovanskii's Matrix Methods for extracting Roots of Polynomials

James McLaughlin, B. Sury|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2019

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文为Khovanskii基于矩阵的方法提供了收敛性准则、最优参数选择以及多项式根（特别是立方根和三次方程的实根）的闭式表达式。证明了通过特别构造的 $ m \times m $ 矩阵的幂次，其矩阵元素之比收敛于所需的根，并通过显式公式实现高效计算，无需重复矩阵乘法。

ABSTRACT

In this article we apply a formula for the $n$-th power of a $3 imes 3$ matrix (found previously by the authors) to investigate a procedure of Khovanskii's for finding the cube root of a positive integer. We show, for each positive integer $α$, how to construct certain families of integer sequences such that a certain rational expression, involving the ratio of successive terms in each family, tends to $α^{1/3}$. We also show how to choose the optimal value of a free parameter to get maximum speed of convergence. We apply a similar method, also due to Khovanskii, to a more general class of cubic equations, and, for each such cubic, obtain a sequence of rationals that converge to the real root of the cubic. We prove that Khovanskii's method for finding the $m$-th ($m \geq 4$) root of a positive integer works, provided a free parameter is chosen to satisfy a very simple condition. Finally, we briefly consider another procedure of Khovanskii's, which also involves $m imes m$ matrices, for approximating the root of an arbitrary polynomial of degree $m$.

研究动机与目标

• 为Khovanskii矩阵方法提供严格的收敛条件，以提取正整数的立方根。
• 确定矩阵构造中自由参数 $ a $ 的最优选择，以最大化收敛速度。
• 通过 $ m \times m $ 矩阵将该方法扩展至一般三次方程及高次多项式。
• 提供矩阵幂的闭式表达式，以消除重复矩阵乘法的需要。
• 将该方法推广至任意多项式，并确定其收敛于实根的条件。

提出的方法

• 利用从特征多项式和特征值导出的 $ 3 \times 3 $ 矩阵的 $ n $ 次幂的闭式公式。
• 将矩阵幂公式应用于分析比值 $ A_{n,2,1}/A_{n,3,1} $ 收敛于 $ \alpha^{1/3} $ 的行为，证明当 $ a > -\alpha^{2/3}/(1 + \alpha^{1/3}) $ 时收敛。
• 推导出误差项 $ |A_{n,2,1}/A_{n,3,1} - \alpha^{1/3}| $ 的显式表达式，涉及单位根及误差系数的界。
• 将该方法扩展至一般 $ m \times m $ 矩阵，用于 $ m $ 次根及形如 $ x^3 - p x - q = 0 $ 的三次方程，利用特征值主导性和矩阵对角化。
• 利用矩阵 $ A $ 的特征值结构，表明主导特征值 $ \beta_1 $ 决定了矩阵元素的渐近行为。
• 应用矩阵相似变换 $ M^{-1} A M = \text{diag}(\beta_1, \dots, \beta_m) $，推导出涉及单位根和特征值的 $ A_{n,i,j} $ 的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Khovanskii 的 $ 3 \times 3 $ 矩阵的幂次中，其元素之比在何种条件下收敛于正整数的立方根？
• RQ2 自由参数 $ a $ 的最优值是什么，可使收敛速度至 $ \alpha^{1/3} $ 最快？
• RQ3 能否推导出 $ A^n $ 的闭式表达式，以避免Khovanskii方法中的重复矩阵乘法？
• RQ4 Khovanskii 方法在 $ m \geq 4 $ 时对整数的 $ m $ 次根是否收敛？何种条件可保证收敛？
• RQ5 对于一般 $ m $ 次多项式，矩阵方法的比值在何种条件下收敛于实根？

主要发现

• 对于任意整数 $ \alpha > 1 $，当所有整数 $ a > -\frac{\alpha^{2/3}}{1 + \alpha^{1/3}} $ 时，序列 $ \frac{A_{n,2,1}}{A_{n,3,1}} $ 收敛于 $ \alpha^{1/3} $，且收敛性独立于 $ a $ 的取值。
• 为实现最快收敛，$ a $ 的最优选择为最接近 $ \bar{a} = \frac{\alpha^{1/3} + \alpha}{1 + \alpha^{1/3}} $ 的两个整数之一，从而最小化误差项。
• 近似误差满足 $ \left| \frac{A_{n,2,1}}{A_{n,3,1}} - \alpha^{1/3} \right| \leq C \cdot 2^{-n} $，其中 $ C $ 为绝对常数，且对误差系数给出了显式界。
• 对于三次方程 $ x^3 - p x - q = 0 $，当 $ 27q^2 - 4p^3 > 0 $ 时，该方法收敛于实根，且极限由包含根号的闭式表达式给出。
• 对于一般 $ m \times m $ 矩阵 $ A $，当 $ a > 0 $ 时，比值 $ \frac{A_{n,i,j}}{A_{n,u,v}} $ 随 $ n \to \infty $ 收敛于 $ \alpha^{(j+u-i-v)/m} $，这是由于第一个特征值占主导地位。
• 该方法可通过结构化的 $ m \times m $ 矩阵构造推广至任意多项式，但收敛性并非在所有情况下都保证，其依赖于谱性质。