[论文解读] Some Observations on Lambert series, vanishing coefficients and dissections of infinite products and series

James Mc Laughlin|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2019

Advanced Mathematical Identities参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文表明，此前通过复杂数项级数变换证明的无限q乘积中的消失系数与m-分拆，可直接从拉马努金 ${}_1\psi_1$ 求和公式导出的单一恒等式中通过参数特化得出。该文建立了新的q级数恒等式，包括含整数m的参数化展开式，并将该方法应用于费恩函数，统一并简化了先前的结果。

ABSTRACT

Andrews and Bressoud, Alladi and Gordon, and others, have proven, in a number of papers, that the coefficients in various arithmetic progressions in the series expansions of certain infinite $q$-products vanish. In the present paper it is shown that these results follow automatically (simply by specializing parameters) in an identity derived from a special case of Ramanujan's $_1ψ_1$ identity. Likewise, a number of authors have proven results about the $m$-dissections of certain infinite $q$-products using various methods. It is shown that many of these $m$-dissections also follow automatically (again simply by specializing parameters) from this same identity alluded to above. Two identities that mat be considered as extensions of two Identities of Ramanujan are also derived. It is also shown how applying similar ideas to certain other Lambert series gives rise to some rather curious $q$-series identities, such as, for any positive integer $m$, \begin{multline*} {\displaystyle \frac{\left(q,q,a,\frac{q}{a},\frac{b q}{d}, \frac{dq}{b}, \frac{aq}{b d}, \frac{b d q}{a};q ight)_{\infty }} {\left(b,\frac{q}{b},d,\frac{q}{d},\frac{a}{b},\frac{bq}{a},\frac{a}{d},\frac{dq}{a};q ight)_{\infty }}} = \sum _{r=0}^{m-1} q^r \frac{ \left(q^m,q^m,a q^{2 r},\frac{q^{m-2 r}}{a},\frac{b q^m}{d},\frac{d q^m}{b}, \frac{a q^m}{b d},\frac{b dq^m}{a};q^m ight){}_{\infty }} {\left(b q^r,\frac{q^{m-r}}{b},d q^r,\frac{q^{m-r}}{d},\frac{a q^r}{b},\frac{b q^{m-r}}{a},\frac{a q^r}{d}, \frac{dq^{m-r}}{a};q^m ight){}_{\infty }} \end{multline*} and \begin{equation*} (aq;q)_{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n a^n q^{n}}{(q;q)_n} = \sum_{r=1}^{m}(aq^{r};q^m)_{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{na^n q^{n r}}{(q^m;q^m)_n}. \end{equation*} Applications to the Fine function $F(a,b;t)$ are also considered.

研究动机与目标

• 统一并简化q乘积展开式中算术级数消失系数的现有证明。
• 表明无限q乘积的m-分拆可自动由单一通恒等式中的参数特化得出。
• 推导出涉及整数参数m的新颖q级数恒等式。
• 将该方法扩展至费恩函数 $ F(a,b;t) $ 及相关超几何级数。
• 证明q级数中复杂的结论可系统地从单一基础恒等式推导而出。

提出的方法

• 以拉马努金 ${}_1\psi_1$ 求和公式的一个特例作为核心恒等式。
• 通过参数特化推导出消失系数与m-分拆的恒等式。
• 利用代换 $ n \to nm + r $ 的算术级数分解方法，生成m-分拆恒等式。
• 将相同方法应用于贝利对与 ${}_6\psi_6$ 求和公式，推导出新的q级数展开式。
• 运用函数方程与级数重排，连接不同的q级数表示形式。
• 将该框架应用于费恩函数 $ F(a,b;t) $，从已知的罗杰斯-费恩型恒等式推导出参数化恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从单一通恒等式统一推导出q乘积中消失系数的结果？
• RQ2 无限q乘积的m-分拆是否可由已知求和公式中的参数特化自动得出？
• RQ3 当将该方法应用于其他兰伯特级数或超几何恒等式时，会涌现出哪些新的q级数恒等式？
• RQ4 该方法能否扩展至费恩函数 $ F(a,b;t) $ 等函数？
• RQ5 涉及整数m的参数化恒等式如何从这类通框架中自然产生？

主要发现

• 推导出新的拉马努金恒等式扩展： $$ \frac{(q,q,a,q/a,bq/d,dq/b,aq/bd,bdq/a;q)_\infty}{(b,q/b,d,q/d,a/b,bq/a,a/d,dq/a;q)_\infty} = \sum_{r=0}^{m-1} q^r \frac{(q^m,q^m,aq^{2r},q^{m-2r}/a,bq^m/d,dq^m/b,aq^m/bd,bdq^m/a;q^m)_\infty}{(bq^r,q^{m-r}/b,dq^r,q^{m-r}/d,aq^r/b,bq^{m-r}/a,aq^r/d,dq^{m-r}/a;q^m)_\infty} $$
• 对任意正整数 $ m $，恒等式 $$ (aq;q)_\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{na^n q^n}{(q;q)_n} = \sum_{r=1}^m (aq^r;q^m)_\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{na^n q^{nr}}{(q^m;q^m)_n} $$ 成立，提供了一类参数化q级数展开。
• 通过在通恒等式中特化参数，消失系数结果（如定理1.1中的结果）可自动得出，从而避免了先前复杂的级数变换。
• 作为特例，恢复了乘积 $ \frac{(q^7,q^5;q^{12})_\infty}{(q,q^{11};q^{12})_\infty} $ 的3-分拆，验证了推论1.2。
• 通过主恒等式的迭代，推导出无限乘积恒等式，如 $$ \frac{(q^5,q^5;q^5)_\infty}{(q,q^4;q^5)_\infty} = \frac{1}{1-q^2} \prod_{k=1}^\infty \left(1 + q^{2^{k-1}} \cdots \right) $$
• 建立了同一函数的六种不同q级数表示形式（例如 $ h_1(a,q) = \cdots = h_6(a,q) $）之间的等价性，并将其推广至m-参数版本。