[论文解读] Some old and new results about rigidity of critical metric

Gilles Carron|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过曲率衰减和函数不等式，提出了一类新 $L^p$-基 $\u0005C\epsilon$-刚性定理，对满足涉及里奇张量与黎曼曲率张量的博赫纳型方程的临界黎曼度量——即临界度量——给出了新的证明。关键贡献在于：若在测地球上，黎曼曲率张量的 $L^p$ 范数满足依赖于维数和曲率算子有界性的极小条件，则该度量为平坦的。

ABSTRACT

We present a new proof of a recent $ε$ regularity of G. Tian and J.Viaclovsky. Moreover, our idea also also works with a kind of $L^p, p

研究动机与目标

• 为临界度量提供一种新的、直接的 $\u0005C\epsilon$-正则性与刚性结果证明，避免使用先前工作中复杂的德 Giorgi–Nash–Moser 迭代方法。
• 将现有的 $\u0005C\epsilon$-刚性结果推广至 $L^p$-范数曲率有界性情形，其中 $p < \dim M/2$，而不仅限于 $L^{n/2}$ 或索博列夫型假设。
• 为完备临界度量建立一个新的基于 $L^p$ 的 $\u0005C\epsilon$-刚性定理，表明当 $r^{2p}/\operatorname{vol}(B) \int_B |\operatorname{Rm}|^p$ 满足极小条件时，曲率张量恒为零。
• 通过统一的、直接的方法——基于曲率衰减和函数不等式——重新证明并恢复经典刚性结果，如安德森对里奇平坦流形的体积刚性定理。
• 将 $\u0005C\epsilon$-刚性方法的应用范围扩展至更广泛的曲率假设，包括零数量曲率的局部共形平坦度量和正曲率的爱因斯坦度量。

提出的方法

• 在具有受控体积增长的流形上推导出一个新的 $L^1$ 型哈代不等式，利用曲率衰减假设，通过梯度控制函数的大小。
• 应用黎曼曲率张量的博赫纳型方程：$\nabla^*\nabla \operatorname{Rm} + \mathcal{R}(\operatorname{Rm}) = 0$，该方程对临界度量成立，以推导点态估计。
• 利用测地球上黎曼曲率张量的 $L^p$-范数有界性：$\frac{r^{2p}}{\operatorname{vol}(B)} \int_B |\operatorname{Rm}|^p \, d\operatorname{vol} < \epsilon$，以控制曲率衰减并推断平坦性。
• 在正曲率的爱因斯坦流形上对外尔张量应用最大值原理，表明非零外尔张量会导致其 $L^\infty$ 范数的下界。
• 在曲率和体积假设下，应用 Bishop–Gromov 比较原理于测地球，推导出体积比估计，除非平坦，否则与正曲率矛盾。
• 利用 Gray–Vanhecke 关于体积增长的渐近展开式，以曲率不变量表示体积比，将体积比与某点处曲率大小联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖 De Giorgi–Nash–Moser 迭代方法的前提下，重新证明临界度量的 $\epsilon$-正则性与刚性结果？
• RQ2 对于 $p < \dim M/2$，$L^p$-范数曲率有界性是否能推出临界度量的刚性（即平坦性）？
• RQ3 当 $r^{2p}/\operatorname{vol}(B) \int_B |\operatorname{Rm}|^p$ 满足极小条件时，是否意味着曲率张量恒为零？
• RQ4 能否通过曲率衰减和函数不等式，直接重新证明安德逊对里奇平坦流形的体积刚性结果？
• RQ5 在正曲率的爱因斯坦流形中，体积增长、曲率衰减与外尔张量消失之间是否存在定量关系？

主要发现

• 建立了一个新的 $\epsilon$-刚性定理：若对某 $p < \dim M/2$，有 $\frac{r^{2p}}{\operatorname{vol}(B)} \int_B |\operatorname{Rm}|^p \, d\operatorname{vol} < \epsilon$，则该度量为平坦的，其中 $\epsilon$ 仅依赖于 $n$、$p$ 和曲率算子有界性 $\Upsilon$。
• 该证明提供了一种直接替代先前 Tian–Viaclovsky 与 Chen–Weber 工作中使用的 De Giorgi–Nash–Moser 迭代方法的途径，避免了其技术复杂性。
• 该方法重新证明了安德逊的体积刚性结果：若 $\lim_{r\to\infty} \frac{\operatorname{vol} B(x,r)}{r^n} \geq \omega_n(1 - \epsilon_n)$，则里奇平坦流形同构于 $\mathbb{R}^n$，并给出了新的直接证明。
• 对于闭合的爱因斯坦流形满足 $\operatorname{Ricci}_g = (n-1)g$，若外尔张量非零，则 $\max |\operatorname{W}| \geq \frac{2(n-1)}{c(n)}$，给出一个定量下界。
• 对于零数量曲率的局部共形平坦度量，若体积增长下界为 $v r^n$，上界为 $\omega_n r^n (1 + \varepsilon_n v^4)$，则流形同构于 $\mathbb{R}^n$，其中 $\varepsilon_n > 0$ 为绝对常数。
• 该方法适用于一大类临界度量，包括爱因斯坦度量、常数量曲率的凯勒度量，以及四维中常数量曲率的巴赫平坦度量。