[论文解读] Some Ostrowski type inequalities via Riemann-Liouville fractional integrals for h-convex functions

Wenjun Liu|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文建立了涉及 Riemann-Liouville 分数阶积分的新型 Ostrowski 型不等式，适用于 h-凸函数，且 h 满足超乘性或超可加性。通过利用 |f′| 的 h-凸性，并结合幂平均不等式与 Hölder 不等式，作者推导出精确的界，推广并拓展了关于 s-凸函数与 P-函数的现有结果，在分数阶积分逼近背景下提供了更紧致的估计。

ABSTRACT

In this paper, some Ostrowski type inequalities via Riemann-Liouville fractional integrals for h-convex functions, which are super-multiplicative or super-additive, are given. These results not only generalize those of Set (2012) and Tunc (2012), but also provide new estimates on these types of Ostrowski inequalities for fractional integrals.

研究动机与目标

• 通过使用 Riemann-Liouville 分数阶积分，将 Ostrowski 型不等式推广至 h-凸函数类。
• 通过引入具有超乘性或超可加性的权函数 h，推广关于 s-凸函数与 P-函数的已有结果。
• 通过分数阶积分算子，为利用函数在某一点的取值近似其积分平均值，提供更紧致的误差界。
• 通过在 h 中引入具有结构性质的 h-凸性，统一并拓展近期关于分数阶积分不等式的研究。

提出的方法

• 利用 Set（2012）提出的关键恒等式，通过 [0,1] 上的参数化积分将分数阶积分与导数联系起来。
• 应用幂平均不等式与 Hölder 不等式，对 |f′| 为 h-凸时涉及 |f′| 的分数阶积分表达式进行界定。
• 对 h 施加结构性条件：超乘性或超可加性，且 h(t) ≥ t 对 t ∈ [0,1] 成立，以获得更紧致的估计。
• 利用 h-凸性的定义：f(tx + (1−t)y) ≤ h(t)f(x) + h(1−t)f(y)，对 |f′| 在区间上的积分进行界定。
• 通过利用分数阶积分核的齐次性，以 Γ-函数及 h(t) 与 h(1−t) 的积分为形式推导出界。
• 应用超乘性性质 h(xy) ≥ h(x)h(y) 与超可加性性质 h(x+y) ≥ h(x)+h(y)，以优化最终不等式中的估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 Riemann-Liouville 分数阶积分将 Ostrowski 型不等式推广至 h-凸函数？
• RQ2 当 |f′| 为 h-凸且 h 具有超乘性或超可加性时，误差界如何改进？
• RQ3 新不等式如何推广关于 s-凸函数与 P-函数的已知结果？
• RQ4 与标准凸性相比，h 的超乘性或超可加性在分数阶积分估计中起到何种优化作用？
• RQ5 当 h(t) = t^s 且 s ∈ (0,1] 时，误差界的定量改进程度如何？

主要发现

• 定理 1 为 |f′| 是 h-凸且 h 超乘性、h(t) ≥ t 的情形提供了分数阶 Ostrowski 不等式，其界涉及 ∫₀¹ [h(t) + h(1−t)] dt。
• 定理 2 将结果推广至 |f′| 为 h-凸且 h 超可加的情形，其界依赖于 ∫₀¹ [h(t) + h(1−t)] dt。
• 定理 3 在 q ≥ 1 且 h 超乘性条件下建立了紧致界，最终不等式涉及 ∫₀¹ [h(t^{α+1}) + h(t^α(1−t))] dt。
• 当 h(t) = t^s 时，该界退化为与 [24, 定理 9] 一致的形式，验证了与已有工作的兼容性。
• 当 α = 1 时，定理 3 中的不等式退化为 [25, (2.4)]，验证了其推广性。
• 推论 3 中，当 h(t) = t^s 时，误差界通过 Gamma 函数显式量化：包含 (α + s + 1)^{-1/q} 与 Γ(αs + s + 1)/Γ(αs + 1)Γ(s + 1) 项。